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一、选择题
1. 函数在处取得极大值，则必有[ D ]
(A) (B) (C) (D)
2. “”是的函数曲线在处有拐点的[ D ]
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)既非必要也非充分条件
3. 对曲线，下列结论正确的是[ D ]
(A) 有4个极值点 (B) 有3个拐点 (C) 有2个极值点 (D) 有1个拐点
4. 设在点处连续，在的某去心邻域内可导，且时，，则[ B ]
(A) 为极大值 (B) 为极小值 (C) (D) 不是的极值点
二、填空题
1. 设函数，则。
2. 若，则。
3. 设函数由方程确定，则。
4. 若曲线和在点处相切，其中是常数，则
三、计算证明题
1．已知在内可导，且，，求的值。
解：
2. 计算极限
解：
3. 求函数在其定义域上的极值。
解：，使导数为零或不存在的点有，
(-, -1)
-1
(-1, )
(, 5)
5
(5, )
f ’(x)
--
不存在
+
0
--
0
+
f (x)
极小值
极大值
极小值
4. 一架巡逻直升机在距地面3km的高度以120km/h的速度沿水平笔直的高速公路向前飞行，雷达监测到迎面驶来的一辆汽车，测得与直升机距离为5km，且以160km/h的速度在接近，求汽车的水平行驶速度。
解：设为时间，飞机的坐标为，汽车的坐标为
，飞机汽车间距离为
在时刻，，，
求。
上式中代入即可算得
所以汽车时速为。
5. 利用凹凸性证明不等式：xn+yn2>x+y2n (x,y>0,x≠y,n>1)
解：若函数在某区间上为凹函数，则有
当，则有。令，证明在上为凹函数。
6. f(x)在[0,+∞]可导，且，证明：.
解：，其中 ，所以，
。
7. 求由方程lnx2+y2=arctanyx确定的函数y=y(x)的导数。(提示：两边求微分或求导)
解： à à à
à
8. 求曲线x=t-ln1+ty=t3+t2 在t=1处的切线方程。(提示：dydx=dydt/dxdt)
解： ，
( 另：d2ydx2=ddxdydx=ddtdydx⋅dtdx=ddtdydx/dxdt [复合函数求导法则] )
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