选修系列数列和差分公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

数列与差分第1页第1页1.引言数列是描述客观世界主要数学模型差分是描述数列改变主要工具客观世界许多变量本身就是离散:如酵母细胞分裂,股市开盘或收盘价按日记录等.现实世界中存在着大量连续函数关系难以用解析式表示:如河流水位高下作为时间函数等.函数关系尽管能用解析式表示,但其解析式比较复杂:如捕食与被捕食种群数变化、接触性传染病传播等.在不阻碍研究结果有效性前提下,为了以便,人们也愿意把对连续函数研究转化为对数列研究.而计算机技术发展,更为数列研究提供了以便,使数列模型应用也日趋广泛.第2页第2页1.2.差分是描述数列改变主要工具第3页第3页差分与数列通项关系1:对数列an=2,2,2,2,2,其一阶差分an=0,0,0,0.普通地,常数列一阶差分为各项是零常数列(注意:每施行一次差分运算,所得新数列总项数都会减少1)关系2:对数列an=3n-5=-2,1,4,7,10,13,16,19,其一阶差分an=3,3,3,3,3,3,3为常数列,其通项an=3n-5是一个线性函数.普通地,当数列an是由一个线性函数定义等差数列时,其一阶差分为常数列.第4页第4页关系3:对数列an=n2-3n+5=3,3,5,9,15,23,其一阶差分an=0,2,4,6,8,其二阶差分2an=2,2,2,2为常数列,其通项an=n2-3n+5是一个二次函数.普通地,当数列an是由一个二次函数定义时,其二阶差分为常数列.关系4:对数列an=3n=3,9,27,81,243,729,2187,其一阶差分an=6,18,54,162,486,1458,二阶差分2an=12,36,108,324,972都不是常数列,而都是公比为3等比数列.普通地,当数列an是由一个指数函数定义时,其一阶、二阶差分都是以该指数函数底数为公比等比数列.第5页第5页差分对数列描述一阶差分对数列增减描述第6页第6页一阶差分对数列极值描述第7页第7页二阶差分对数列图形凸凹描述第8页第8页第9页第9页例2.结构数列n2-4n+3前7个值a1 a7差分表,并据该表拟定数列在何处增长、何处减少、何处达到相对极大或极小、图像上凸或下凸.第10页第10页解:结构差分表下列.据差分表:因a10,数列在n=2,3,6处为增;a10,故在n=2处达到相对极小;对这7项而言,数列无相对极大;由于二阶差分2an0,故数列图像是下凸.n1234567an0-10381524 an-1135792 an22222第11页第11页2.差分方程相关基本概念第12页第12页第13页第13页第14页第14页第15页第15页第16页第16页3.差分方程(一阶)解、通解与特解差分方程解是一个数列.当把它代入差分方程时,得到一个恒等式,它满足任何一个初始值.差分方程通解差分方程特解 比如:用数列xn=(1.05)nc(c为任意常数)代入差分方程xn+1=xn+0.05xn,有:(1.05)n+1c=(1.05)nc+0.05(1.05)nc,这是一个恒等式.称数列xn=(1.05)nc是差分方程xn+1=xn+0.05xn解.我们注意到,上式解中含有一个常数c,并且方程是一阶.普通地,假如差分方程解中含有与方程阶数相同个数互相独立任意常数,就称它为差分方程通解.按此定义,xn=(1,05)nc也是一阶差分方程xn+1=xn+0.05xn通解.对上式通解xn=(1.05)nc,若给定初值x0=1000,代入通解得:1000=(1.05)0c,求得常数c=1000,称xn=(1.05)n1000为方程对应于初值x0=1000特解.注意:这么求出特解是用解析式表示.显然,对应于不同初值,方程有不同特解,而求特解只要将给定初始值代入通解求出待定常数即可.第17页第17页迭代法对差分方程(组)来说,迭代法是用于求特解主要办法.重点:对一阶齐次线性方程组,在给定初始值条件下,能够利用某种迭代程序在计算机上以便地求得它数值解序列,并依据数值解序列掌握解改变趋势.此点在新课标该专项中作重点要求.用方程含未知数列项相同个数初始值代入方程(组)求得第一个(组)数值,将所得第一个(组)数值又代入方程(组)求得第二个(组)数值,将此过程不断重复,求得在该初始条件下满足方程(组)特解.第18页第18页例3:第19页第19页例4:第20页第20页例5:第21页第21页第22页第22页3.1.求一阶齐次差分方程xn+1=kxn(3)通解第23页第23页3.2.摸索一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b通解结构第24页第24页3.3.求一阶非齐次差分方程(1)通解第25页第25页第26页第26页第27页第27页第28页第28页第29页第29页第30页第30页第31页第31页第32页第32页第33页第33页4.差分方程在数学建模中一些应用差分方程是描述客观事物数量关系一个主要数学模型.在科学研究和生产实际中,经常碰处处理对象涉及变量(如时间)是连续,但是从建模目的考虑,把连续变量离散化更为适当,将连续变量作离散化处理,从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题.第34页第34页在实际建立差分方程模型时,往往要将改变过程进行划分,划分成若干时段,依据要处理问题目的,对每个时段引入相应变量或向量,然后通过适当假设,依据事物系统实际改变规律和数量互相关系,建立每两个相邻时段或几种相邻时段或者相隔某几种时段量之间改变规律和运算关系,从而建立起差分方程.或者对事物系统进行划分,划分成若干子系统,在每个子系统中引入恰当变量或向量,然后分析建立起子过程间这种量关系等式,从而建立起差分方程.第35页第35页在这里,过程时段或子系统划分方式是非常非常主要,应该结合已经有信息和分析条件,从各种可选方式中挑选易于分析、针对性强划分,同时,对划分后时段或子过程,引入哪些变量或向量都是至关主要,要仔细分析、选择,尽也许扩大对过程或系统数量感知范围,包含对已经有、已知若干量进行结合运算、取最运算等处理方式,目标是建立起简练、深刻、易于求解分析差分方程.在下面所举实际例子中,这方面内容应该重点体会.第36页第36页4.1.金融问题差分方程模型1.设既有一笔p万元商业贷款,假如贷款期是n年,年利率是r1,今采用月还款方式逐月归还,建立数学模型计算每月还款数是多少?第37页第37页模型分析:在整个还款过程中,每月还款数是固定,而待还款数是改变,找出这个变量改变规律是处理问题关键.模型假设:模型建立:第38页第38页模型求解:第39页第39页模型进一步拓广分析:第40页第40页2.养老保险模型问题:养老保险是保险中一个主要险种,保险企业将提供不同保险方案以供选择,分析保险品种实际投资价值.即分析假如已知所交保费和保险收入,按年或按月计算实际利率是多少,也就是说,保险企业需要用你保费实际取得最少多少利润才干确保兑现你保险收益.下面应用实例中,第41页第41页模型举例分析:假设每月交费p元至60岁开始领取养老金,男子若25岁起投保,届时养老金每月2282元;如35岁起保,届时月养老金1056元;试求出保险公司为了兑现保险责任,每月至少应有多少投资收益率,这也就是投保人实际收益率.第42页第42页模型假设:这应当是一个过程分析模型问题.过程结果在条件一定期是拟定.整个过程能够按月进行划分,由于交费是按月进行.假设:设投保人到第k月止所交保费及收益累计总额为Fk;设r为每月收益率;记p、q分别为60岁前每月交费数和60岁后每月领取数;记N为停交保险费月份,M为停领养老金月份.第43页第43页模型建立:在整个过程中,离散变量Fk改变规律满足:在这里Fk事实上表示从保险人开始交纳保险费以后,保险人帐户上资金数值.我们关怀是,在第M个月时,FM能否为非负数.假如为正数,则表明保险公司取得收益;如为负数,则表明保险公司出现亏损;当为零时,表明保险公司最后一无所有,所有收益全归为保险人.第44页第44页从这个分析来看,引入变量Fk,较好地刻画了整个过程中资金改变关系,尤其是引入收益率r,即使它不是我们所求保险人收益率,但是从问题系统环境中来看,必定要考虑引入另一对象:保险公司经营效益,以此作为整个过程中各种量改变表现基础.第45页第45页模型计算:第46页第46页4.2.人口控制与预测模型背景分析:人口数量发展改变规律及特性能够用偏微分方程理论形式来表现和模拟.但在实际应用中不是很以便,需要建立离散化模型,以便于分析、应用.人口数量改变取决于诸多原因,比如:女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等.试建立离散数学模型来表现人口数量改变规律.第47页第47页模型假设:第48页第48页第49页第49页模型建立:第50页第50页第51页第51页第52页第52页模型分析:第53页第53页4.3.蛛网模型经济背景与问题:在自由竞争市场经济中,商品价格是由市场上该商品供应量决定,供应量越大,价格就越低.另一方面,生产者提供商品数量又是由该商品价格决定,价格上升将刺激生产者生产积极性,导致商品生产量增长;反之,价格减少会影响生产者积极性,导致商品生产量下降.经营者要取得良好经济效益,就必须把握好这两个因素规律,避免市场供求出现混乱.第54页第54页模型假设与模型建立:第55页第55页模型几何分析:第56页第56页第57页第57页第58页第58页模型差分方程分析:第59页第59页模型推广:第60页第60页