2023年中考数学一轮复习考点《等腰三角形》通关练习题(含答案)

2023年中考数学一轮复习考点 《等腰三角形》通关练习题 一 、选择题 1.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为(　　) A.21 B.21或27 C.27 D.25 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝58°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，连接OC，则∠AOC的度数为(　　) A.151° B.122° C.118° D.120° 3.如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是( )om 4.如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( ) A.102° B.100° C.88° D.92° 5.在△ABC中， ①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形； ②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形； ③有两个角都是60°的三角形是等边三角形； ④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 上述结论中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个　 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为(　　) A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 7.如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD长是(　　) A.5 B.7 C.8 D.9 8.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形.下列结论，其中正确的有(　　) ①AE＝CD； ②BF＝BG； ③BH平分∠AHD； ④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD. A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 二 、填空题 9.若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 . 10.△ABC周长为36cm，AB＝AC，AD⊥BC于D，△ABD周长为30cm，则AD＝ . 11.如图，OB、OC分别平分∠ABC与∠ACB，MN∥BC，若AB＝24，AC＝36，则△AMN周长是   . 12.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图①，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 cm. 13.如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE.若CD＝1，CE＝3，则BC＝ . 14.如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE＝EF＝FG＝GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 . 三 、解答题 15.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA延长线上，AE＝AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由. 16.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线OB与∠ACB的角平分线OC相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N. (1)请写出图中所有的等腰三角形，并给予证明； (2)若AB＋AC＝14，求△AMN的周长. 17.如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB. 求证：△CDE是等边三角形. 18.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD. (1)求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE. (2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明. 19.如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连结AM. (1)求证：EF＝AC； (2)若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系. 20.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题： (1)t为　 　时，△PBQ是等边三角形？ (2)P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由. 答案 C. B. B D D C A D. 答案为：35°. 答案为：12cm. 答案为：60. 答案为：18. 答案为：4. 答案为：8. 解：EF⊥BC，理由为： 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AE＝AF， ∴∠E＝∠EFA， ∵∠BAC＝∠E＋∠EFA＝2∠EFA， ∴∠EFA＝∠BAD， ∴EF∥AD， ∵AD⊥BC， ∴EF⊥BC， 则EF与BC的位置关系是垂直. 解：(1)△MBO和△NOC是等腰三角形， ∵OB平分∠ABC， ∴∠MBO＝∠OBC， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC， ∴∠MBO＝∠MOB， ∴MO＝MB， 同理可证：ON＝NC， ∴△MBO和△NOC是等腰三角形； (2)∵OB平分∠ABC， ∴∠MBO＝∠OBC， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC， ∴∠MBO＝∠MOB， ∴MO＝MB， 同理可证：ON＝NC， ∵△AMN的周长＝AM＋MO＋ON＋AN， ∴△AMN的周长＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝14. 证明：∵∠ABE＋∠CBE＝60°，∠CAD＋∠ADC＝60°，∠EBC＝∠DAC， ∴∠ABE＝∠ADC. 又CE∥AB， ∴∠BEC＝∠ABE. ∴∠BEC＝∠ADC. 又BC＝AC，∠EBC＝∠DAC， ∴△BCE≌△ACD. ∴CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，即∠ECD＝∠ACB＝60°. ∴△CDE是等边三角形. 解：(1)①∵AD∥BE， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD； ②∵AD∥BE， ∴∠ADC＝∠DCE， 由①知AB＝AD， 又∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴CD平分∠ACE； (2)∠BDC＝∠BAC， ∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE， ∵∠BDC＋∠DBC＝∠DCE， ∴∠BDC＋∠ABC＝∠ACE， ∵∠BAC＋∠ABC＝∠ACE， ∴∠BDC＋∠ABC＝∠ABC＋∠BAC， ∴∠BDC＝∠BAC. 证明：(1)∵CD＝CB，点E为BD的中点， ∴CE⊥BD， ∵点F为AC的中点， ∴EF＝AC； (2)∵∠BAC＝45°，CE⊥BD， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∵点F为AC的中点， ∴EF垂直平分AC， ∴AM＝CM， ∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB， ∴BC＝AM＋DM. 解：(1)要使，△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm. ∴AB＝36cm， 可得：PB＝36﹣2t，BQ＝t， 即36﹣2t＝t，解得：t＝12 故答案为；12 (2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形， 理由如下： ∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm ∴AB＝2BC＝18×2＝36(cm) ∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发 ∴BP＝AB﹣AP＝36﹣2t，BQ＝t ∵△PBQ是直角三角形 ∴BP＝2BQ或BQ＝2BP 当BP＝2BQ时， 36﹣2t＝2t，解得t＝9 当BQ＝2BP时， t＝2(36﹣2t) 解得t＝ 所以，当t为9或时，△PBQ是直角三角形.