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第一章 集合.
一、集合的概念
1、 集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性。
2、 元素与集合的关系:
3、 常用数集
集合名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示
N
或N*
Z
Q
R
二、 集合之间的关系
注:1、子集:一个集合中有n个元素,则这个集合的子集个数为,真子集个数为。
2、空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
三、集合之间的运算
1、交集:
2、并集:
3、补集:
四、 充要条件:
,是的充分条件,是的必要条件。
,是的充要条件,是的充要条件。
第二章 不等式
一、 不等式的基本性质:
1、加法法则:
2、乘法法则: ;
3、传递性:
4、移项:
二、一元二次不等式的解法
二次函数
y
x
o
x1
x2
y
x
o
x1=x2
y
x
o
一元二次方程
有两个不等的实根
有两个相等的实根
无实根
注:当时,可先把二次项系数化为正数,再求解。
三、含有绝对值不等式的解法:
第三章 函数
一、 函数的概念:
1、函数的两要素:定义域、对应法则。
函数定义域的条件:
(1)分式中的; (2)偶次方根的被开方数;
(3)对数的真数,底数; (4)零指数幂的底数。
2、函数的性质:
(1)单调性:一设二求三判定
设:是给定区间( )上的任意两上不等的实数
(2)奇偶性:
判断方法:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再看与的关系:
偶函数 ;奇函数;非奇非偶
图象特征:偶函数图象关于轴对称,奇函数图象关于原点对称。
二、 一次函数
1、
当时为正比例函数、奇函数,图象是过原点的一条直线。
2、一次函数的单调性
三、 二次函数:
1、解析式:
2、二次函数的图象和性质
图象
y
x
o
y
x
o
开口方向
向上
向下
开口大小
越大,开口越小;越小,开口越大
顶点坐标
对称轴
单调性
在区间上是减函数
在区间上是增函数
在区间上是增函数
在区间上是减函数
最大值与最小值
当时,
当时,
奇偶性
当时,是偶函数,图象关于轴对称
第四章 指数函数和对数函数
一、 有理指数
1、零指数幂 规定:
2、负整指数幂 ; ()
3、分数指数幂 ;
4、实数指数幂运算法则
; ; ; (为任意实数)
二、 指数函数
函数
指数函数
的范围
图象
y
x
o
(0,1)
y
x
o
(0,1)
定义域
R
值域
性质
(1) 过点(0,1)
(2) 在R上是增函数
(3) 当时,
当时,
(1)过点(0,1)
(2)在R上是减函数
(3)当时,
当时,
三、 对数
1、对数的性质:对数恒等式;1的对数是零 ;底的对数是1
2、对数的换底公式:
3、积、商、幂的对数:
;;
4、常用对数和自然对数:常用对数;自然对数
四、 对数函数
函数
指数函数
的范围
图象
y
x
o
(1,0)
y
x
o
(1,0)
定义域
值域
R
性质
(1)过点(1,0)
(2)在上是增函数
(3)当时,
当时,
(1)过点(1,0)
(2)在上是减函数
(3)当时,
当时,
第五章 三角函数
一、三角函数的有关概念
1、所有与a角终边相同的角表示为
2、象限角:a为第一象限角,
a为第二象限角,
a为第三象限角,
a为第四象限角,
3、任意角三角函数定义:已知角a终边上任意一点P的坐标(x,y),(r=)
则
4.特殊角的三角函数值表
角a
弧度
0
sina
0
1
0
-1
0
cosa
1
0
-1
0
1
tana
0
1
不存在
0
不存在
0
二、同角的三角函数关系式
平方关系式: 商数关系式:
三、诱导公式:
四、两角和与差的三角函数
五、二倍角公式
六、正弦定理:
应用范围:(1)已知两角与一边(2)已知两边及其中一边的对角(两解,一解或无解)
七、余弦定理:
,,
应用范围:(1)已知三边(2)已知两边及其夹角
八、三角形面积公式
S=absinC=bcsinA=acsinB
九、三角函数性质:
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
值域
【-1,1】
【-1,1】
R
周期
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
上是增函数
最值
当时取最大值1
当时取最小值-1
当时取最大值1
当时取最小值-1
无最值
图像
第六章 等差数列等比数列
名称
等差数列
等比数列
定义
(从第二项起)
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1q(q≠0)
前n项和公式
Sn==an+d
当q≠1时,Sn=
当q=1时,Sn=na
中项
如果a,A,b三个数成等差数列
等差中项公式A=
如果a,G,b三个数成等比数列
等比中项公式:G=ab
判定
定义法:a-a=d(常数)
中项法:a+a=2 a(n≥2)
定义法: =q(常数)
中项法:aa= a (n≥2)
性质
若m+n=p+q,则a+a=a+a
若m+n=p+q,则aa=aa
s与s的关系
三个数的设法
第七章 平面向量
(一)有关概念
向量:既有大小又有方向的量
向量的大小:有向线段的长度。
向量的方向:有向线段的方向。
大小和方向是确定向量的两个要素。
零向量:长度为0的向量叫做零向量,零向量没有确定的方向,记作。
(二)向量的加法,减法
(三)向量的运算律
⑵数乘运算律
①=()
②=+
()=+
③(-1)=-
⑴加法运算律
①+=+
②(+)+=+(+)
③+=+=
④+(-)=(-)+=
(四)向量的内积
已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把 cos叫做和的内积,记作·
即 ① ·= cos
注意:内积是一个实数,不在是一个向量。
规定:零向量与任一向量的数量积是· =0
=(a,a) =(b,b)
② ·=ab+ab
(五)向量内积的运算律
① ·=·
②()·=(·)=·()
③(+)·= · + ·
(六)向量内积的应用=(a,a) =(b,b)
① 向量的模:
② 与的夹角:
(七)平面向量的坐标运算
设 =(a,a) =(b,b) 则
① +=(a+b,a+b)
② -=(a-b,a-b)
③=( a, a)
④·=ab+ab
(八) 两向量垂直,平行的条件
设 =(a, a) =(b,b) 则
⑴向量平行的条件:∥=
∥ ab- ab=0
⑵向量垂直的条件:·=0
ab+ ab=0
解析几何
直线
一、 直线与直线方程
1、直线的倾斜角、斜率和截距
(1)直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正向所成的最小正角,叫这条直线的倾斜角。
(2)、倾斜角的范围:
2、直线斜率
(其中)
注:任何直线都有倾斜角,但不一定有斜率,当倾斜角为时,斜率不存在。
3、直线的截距
在轴上的截距,令求
在轴上的截距,令求
注:截距不是距离,是坐标,可正可负可为零。
4、直线的方向向量和法向量
(1)方向向量:平行于直线的向量,一个方向向量为
(2)法向量:垂直于直线的向量,一个法向量为
二、直线方程的几种形式
名称
已知条件
直线方程
说明
斜截式
和在轴上的截距
存在,不包括轴和平行于轴的直线
点斜式
和
存在,不包括轴和平行于轴的直线
一般式
的值
不能同时为0
几种特殊的直线:
(1) x轴:
(2) Y轴:
(3) 平行于X轴的直线:
(4) 平行于Y轴的直线:
(5) 过原点的直线;(不包括Y轴和平行于Y轴的直线)
三、 两条直线的位置关系
位置关系
斜截式
一般式
平行
重合
相交
垂直
与直线平行的直线方程可设为:
与直线垂直的直线方程可设为:
四、 点到直线的距离公式:
1、点到直线的距离
2、两平行线间的距离
五、 两点间距离公式和中点公式
1、两点间距离公式:
2、中点公式:
圆
一、 圆方程
方程
圆心坐标
半径
圆的标准方程
圆的一般方程
二、 圆与直线的位置关系:
1、圆心到直线的距离为,圆的半径为
相切
相交
相离
2、过圆上点的切线方程:
3、圆中弦长的求法:
(1)(是圆心到弦所在直线的距离)
(2)直线方程与圆方程联立
椭圆的标准方程及性质
标准
方程
( )
( )
图像
范围
对称轴
关于x轴y轴成轴对称;关于原点成中心对称
顶点坐标
A1(-a,0)A2(a,0),
B1 (0,-b) B2(0,b)
A1 (0,-a) A2 (0,a)
B1(-b,0)B2 (b,0)
焦点坐标
F1(-c,0), F2(c,0)
F1(0,-c), F2(0,c)
半轴长
长半轴长是a,短半轴长是b
焦距
焦距是2c
a.b,c的关系
a2=b2+c2 b2=a2-c2
离心率
双曲线的标准方程及性质
标准
方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
图像
渐近线
对称轴
关于x轴y轴成轴对称
顶点坐标
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1 (0,-a), A2 (0,a)
焦点坐标
F1(-c,0), F2(c,0)
F1(0,-c), F2(0,c)
离心率
(e>1)
a.b,c的关系
c2=a2+b2 b2=c2-a2 a2=c2-b2 c>a>0,c>b>0
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
抛物线的标准方程及性质
注意:一次变量定焦点,开口方向看负正,
焦点准线要互异,四倍关系好分析。
第九章 立体几何
直线与平面的位置关系
线在面外
线
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