资源描述
2023年中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29,28,29,31,31,31,29,31,则由年龄组成的这组数据的中位数是( )
A.28 B.29 C.30 D.31
2.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-5m+3=0有一个根为1,则m的值为
A.1 B.3 C.0 D.1或3
3.如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
4.如图图形中,可以看作中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人与车各几何?其大意是:每车坐3人,两车空出来;每车坐2人,多出9人无车坐. 问人数和车数各多少?设车辆,根据题意,可列出的方程是 ( ).
A. B.
C. D.
7.在下列四个新能源汽车车标的设计图中,属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
8.下列运算正确的是( )
A.(a2)4=a6 B.a2•a3=a6 C. D.
9.下列运算结果是无理数的是( )
A.3× B. C. D.
10.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为( )
A.48° B.40° C.30° D.24°
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.分解因式:x2y﹣4xy+4y=_____.
12.如图,圆锥底面圆心为O,半径OA=1,顶点为P,将圆锥置于平面上,若保持顶点P位置不变,将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处,则圆锥的高OP=_____.
13.如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积,则S1_______S2.(填“>”“="”“" <”)
14.对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量,其平均数、方差计算结果如下:机床甲:=10,=0.02;机床乙:=10,=0.06,由此可知:________(填甲或乙)机床性能好.
15.如图,一艘船向正北航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,航行12海里到达B点,在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是_____海里(不近似计算).
16.对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为:当a≥b时,max{a,b}=a;当a<b时,max{a,b]=b;如:max{4,﹣2}=4,max{3,3}=3,若关于x的函数为y=max{x+3,﹣x+1},则该函数的最小值是_____.
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.5,≈1.73)
18.(8分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过点A、C,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图,当CP//AO时,求∠PAC的正切值;
(3)当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标.
19.(8分)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.
(Ⅰ)△ABC的面积等于_____;
(Ⅱ)若四边形DEFG是正方形,且点D,E在边CA上,点F在边AB上,点G在边BC上,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点E,点G,并简要说明点E,点G的位置是如何找到的(不要求证明)_____.
20.(8分)如图,抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A,点B的坐标;
(2)P为第二象限抛物线上的一个动点,求△ACP面积的最大值.
21.(8分)在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子,从盒中随机地取出一个棋子,如果它是黑色棋子的概率是;如果往盒中再放进 10 颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为.求 x 和 y 的值.
22.(10分)阅读材料,解答下列问题:
神奇的等式
当a≠b时,一般来说会有a2+b≠a+b2,然而当a和b是特殊的分数时,这个等式却是成立的例如:
()2+=+,()2+=+,()2+=+()2,…()2+=+()2,…
(1)特例验证:
请再写出一个具有上述特征的等式: ;
(2)猜想结论:
用n(n为正整数)表示分数的分母,上述等式可表示为: ;
(3)证明推广:
①(2)中得到的等式一定成立吗?若成立,请证明;若不成立,说明理由;
②等式()2+=+()2(m,n为任意实数,且n≠0)成立吗?若成立,请写出一个这种形式的等式(要求m,n中至少有一个为无理数);若不成立,说明理由.
23.(12分)《杨辉算法》中有这么一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多几何?”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多了多少步?
24.问题探究
(1)如图1,△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,且∠BAC=∠CDE=90°,AB=AC=3,DE=CD=1,连接AD、BE,求的值;
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,过点A作AM⊥AB,点P是射线AM上一动点,连接CP,做CQ⊥CP交线段AB于点Q,连接PQ,求PQ的最小值;
(3)李师傅准备加工一个四边形零件,如图3,这个零件的示意图为四边形ABCD,要求BC=4cm,∠BAD=135°,∠ADC=90°,AD=CD,请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值.
图3
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、C
【解析】
根据中位数的定义即可解答.
【详解】
解:把这些数从小到大排列为:28,29,29,29,31,31,31,31,
最中间的两个数的平均数是:=30,
则这组数据的中位数是30;
故本题答案为:C.
【点睛】
此题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.
2、B
【解析】
直接把x=1代入已知方程即可得到关于m的方程,解方程即可求出m的值.
【详解】
∵x=1是方程(m﹣1)x2+x+m2﹣5m+3=0的一个根,
∴(m﹣1)+1+m2﹣5m+3=0,
∴m2﹣4m+3=0,
∴m=1或m=3,
但当m=1时方程的二次项系数为0,
∴m=3.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的运算.
3、A
【解析】
【分析】易得BC长为EF长的2倍,那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.
【详解】∵E是AC中点,
∵EF∥BC,交AB于点F,
∴EF是△ABC的中位线,
∴BC=2EF=2×3=6,
∴菱形ABCD的周长是4×6=24,
故选A.
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式,熟练掌握相关知识是解题的关键.
4、D
【解析】
根据 把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可.
【详解】
解:A、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、是中心对称图形,故此选项符合题意;
故选D.
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形,关键掌握中心对称图形定义.
5、A
【解析】
∵,则B错;,则C;,则D错,故选A.
6、B
【解析】
根据题意,表示出两种方式的总人数,然后根据人数不变列方程即可.
【详解】
根据题意可得:每车坐3人,两车空出来,可得人数为3(x-2)人;每车坐2人,多出9人无车坐,可得人数为(2x+9)人,所以所列方程为:3(x-2)=2x+9.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用,关键是找到问题中的等量关系:总人数不变,列出相应的方程即可.
7、D
【解析】
根据中心对称图形的概念求解.
【详解】
解:A.不是中心对称图形,本选项错误;
B.不是中心对称图形,本选项错误;
C.不是中心对称图形,本选项错误;
D.是中心对称图形,本选项正确.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
8、C
【解析】
根据幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法计算即可.
【详解】
A、原式=a8,所以A选项错误;
B、原式=a5,所以B选项错误;
C、原式= ,所以C选项正确;
D、与不能合并,所以D选项错误.
故选:C.
【点睛】
本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法,熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.
9、B
【解析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案.
【详解】
A选项:原式=3×2=6,故A不是无理数;
B选项:原式=,故B是无理数;
C选项:原式==6,故C不是无理数;
D选项:原式==12,故D不是无理数
故选B.
【点睛】
考查二次根式的运算,解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则,本题属于基础题型.
10、D
【解析】
解:∵AB∥CD,∴∠1=∠BAE=48°.∵CF=EF,∴∠C=∠E.∵∠1=∠C+∠E,∴∠C=∠1=×48°=24°.故选D.
点睛:本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、y(x-2)2
【解析】
先提取公因式y,再根据完全平方公式分解即可得.
【详解】
原式==,
故答案为.
12、
【解析】
先利用圆的周长公式计算出PA的长,然后利用勾股定理计算PO的长.
【详解】
解:根据题意得2π×PA=3×2π×1,
所以PA=3,
所以圆锥的高OP=
故答案为.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
13、=.
【解析】
黄金分割点,二次根式化简.
【详解】
设AB=1,由P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,
根据黄金分割点的,AP=,BP=.
∴.∴S1=
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