湖南省益阳市安化县实验高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省益阳市安化县实验高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．4     B．     C．     D． 参考答案： B 考点：双曲线的简单性质 2. 某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的k值是（    ） A．5                  B．6 C．7                  D．8 参考答案： C 3. 若集合，集合,则A∩B= A．（0，+∞）     B．（1，+∞）   C． [0，+∞）   D．（－∞，+∞） 参考答案： 4. 已知点(x，y)在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动，则z＝x＋y的最大值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．5 参考答案： D 5. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是    (    ) (A) (B) （C） (D) 参考答案： C 6. 已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（　　） A． B． C．π D．2π 参考答案： B 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；导数的几何意义． 【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】根据条件求出a，b的值以及函数f（x）的表达式，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用扇形面积公式计算即可． 【解答】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2． 则f（x）=x3﹣x2+ax， 函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a， 因为原点处的切线斜率是﹣3， 即f′（0）=﹣3， 所以f′（0）=a=﹣3， 故a=﹣3，b=2， 所以不等式组为 则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积， 如图阴影部分表示， 所以圆内的阴影部分扇形即为所求． ∵kOB=﹣，kOA=， ∴tan∠BOA==1， ∴∠BOA=， ∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一， ∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=， 故选：B 【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键． 7. 执行下列程序框图，若输入的等于，则输出的结果是（   ） A．2         B．       C.         D．－3 参考答案： C 8. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为             参考答案： D 9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（　　） A．12种         B．15种         C．17种         D．19种 参考答案： C 略 10. 已知集合，集合，则等于 （A）（B） （C） （D） 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 出下列命题     ①若是奇函数，则的图象关于y轴对称；     ②若函数f(x)对任意满足，则8是函数f(x)的一个周期；     ③若，则；     ④若在上是增函数，则。     其中正确命题的序号是___________. 参考答案： 1 2 4 略 12. 已知函数有零点，则的取值范围是            参考答案： 13. 在正方体中，点是上底面的中心，点在线段上运动，则异面直线与所成角最大时，▲. 参考答案： 【知识点】异面直线所成的角G9   解析：由题意可判断出BC在平面的射影为BD,可知当在平面内越远离射影时面直线与所成角越大，所以当Q与P点重合时，异面直线与所成角最大，不妨设正方体的棱长为2，则,根据余弦定理，故答案为。 【思路点拨】由题意可判断出BC在平面的射影为BD,可知当在平面内越远离射影时面直线与所成角越大，所以当Q与P点重合时，异面直线与所成角最大，再结合余弦定理即可。 14. 如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么=　  （用和表示） 参考答案： 　 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】根据条件即可得出，这样代入即可用表示出． 【解答】解：根据条件： = =． 故答案为：． 【点评】考查三等分点的概念，向量数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，以及向量加法的几何意义． 15. 在等比数列中，若，，则                  . 参考答案：    16. 在ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=1350，若AC=AB，则BD=       . 参考答案： 作AH⊥BC于H,则 则. 又,所以 ，即, ， ，所以， 即，整理得，即，解得或（舍去）. 17. 若是偶函数，则_________.              参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，在处的切线方程为. （Ⅰ）若，，试问为何值时，函数与的图象有两个公共点； （II）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 参考答案： 解析：（I），由题设可求得，又由，得                                      …………2分 ，,             …………3分 时，取得极大值            时，取得极小值     或                                     …………6分    （II），        ，恒成立， 解得                                       …………12分     19. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，它的长轴长，短轴长分别为，右焦点F（c，0），直线l：cx﹣a2=0与x轴相交于点，过点A的直线m与椭圆E交于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）若，求直线m的方程； （Ⅲ）过点P且平行于直线l的直线与椭圆E相交于另一点M，求证：Q，F，M三点共线． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为（a＞），由已知解得a=，c=2，可得椭圆的方程； （Ⅱ）由（Ⅱ）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），代入椭圆方程得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．依题意△=12（2﹣3k2）＞0，得k的范围．设P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的位置关系可知直线PQ的方程； （Ⅲ）运用向量的共线的坐标运算和韦达定理，计算化简即可得证． 【解答】（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为（a＞）， 由已知得，解得a=，c=2， 所以椭圆的方程为； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得A（3，0）， 设直线PQ的方程为y=k（x﹣3）， 代入椭圆方程得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0， 依题意△=12（2﹣3k2）＞0，得﹣＜k＜， 设P（x1，y1），Q（x2，y2） 则x1+x2=①x1x2=② 由直线PQ的方程得y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3） 于是y1y2=k2（x1﹣3）（x2﹣3）=k2[x1x2﹣3（x1+x2）+9]③ 因为， 所以x1x2+y1y2=0④ 由①②③④得5k2=1，从而k=±， 所以直线m的方程为x﹣y﹣3=0或x+y﹣3=0； （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知x1+x2=，x1x2=， 设=λ（λ＞1）， 即有（x1﹣3，y1）=λ（x2﹣3，y2） 即x1﹣3=λ（x2﹣3），y1=λy2， 设M（x1，y0），即有x12+3y02=6， 即有y0=﹣y1， F（2，0），=（x1﹣2，﹣y1），=（x2﹣2，y2）， 即有y1+λy2=0， 由于λ=， +=0等价为2x1x2+12﹣5（x1+x2）=0， 由韦达定理代入可得2?+12﹣5?=0， 则有（x1﹣2）+λ（x2﹣2）=0， 故有=﹣λ， 所以Q，F，M三点共线． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，属于中档题． 20. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+a． （1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值； （2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，只须m大于等于φ（n）的最大值即可，从而求出实数m的取值范围． 【解答】解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a， ∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3， ∴a﹣3=﹣2， ∴a=1． （2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n）， 则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2= ∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是 21. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数） （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程； （2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围． 【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2， ∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为： ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x， ∴（x﹣2）2+y2=4． （2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得： （tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4， 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0． 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2， 则， ∴|AB|=|t1﹣t2|==， ∵|AB|=， ∴=． ∴cos． ∵α∈[0，π）， ∴或． ∴直线的倾斜角或． 22. （本小题满分14分） 已知数列满足：．     （1）求；     （2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；   （3）已知，求证：． 参考答案： 解：（1）由数列的递推关系易知：   www.k@s@5@