湖南省常德市澧县第六中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析

湖南省常德市澧县第六中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为（  ） A. 4 B. 5 C. D. 参考答案： C 【分析】 求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，即可求出的最小值，得到答案。 【详解】由抛物线为可得焦点坐标，准线方程为：， 由题可知求周长的最小值，即求的最小值， 设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知， 因此求的最小值即求的最小值， 根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小， 所以 又因为， 所以周长的最小值为， 故答案选C 【点睛】本题考查抛物线的定义，简单性质的应用，判断出、、三点共线时最小，是解题的关键，属于中档题。 2. 复数对应的点在（     ） A.第一象限       B. 第二象限          C. 第三象限         D. 第四象限 参考答案： D 3. 一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为(    )   A.                B.             C.1                D.2 参考答案： A 4. 不等式（x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域是（    ）       参考答案： C 5. 实数集R，设集合，则 A. [2，3] B. (1，3) C. (2，3] D. (－∞,－2]∪[1,+∞) 参考答案： D 【分析】 求出集合P，Q，从而求出，进而求出． 【详解】∵集合P＝{x|y}＝{x|}＝{x|}， ＝， ∴＝{x|或}， ∴＝{x|x≤﹣2或x1}＝（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）． 故选：D． 【点睛】本题考查并集、补集的求法，涉及函数的定义域及不等式的解法问题，是基础题． 6. 已知命题：若，则全为0；命题：，使。则下列命题是真命题的是(   ) A.      B.    C.     D. 参考答案： C 7. 在各项均不为零的等差数列{an}中，若an+1﹣an2+an﹣1=0（n≥2），则S2n﹣1﹣4n=（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 参考答案： A 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列的性质可得an+1+an﹣1=2an，结合已知，可求出an，又因为s2n﹣1=（2n﹣1）an，故本题可解． 【解答】解：设公差为d，则an+1=an+d，an﹣1=an﹣d， 由an+1﹣an2+an﹣1=0（n≥2）可得2an﹣an2=0， 解得an=2（零解舍去）， 故S2n﹣1﹣4n=2×（2n﹣1）﹣4n=﹣2， 故选A． 8. 点M的极坐标()化为直角坐标为                               (   ) A.  ()  B. ()   C.   ()  D.  ()    参考答案： B 略 9. 已知函数在x=1有极值, 则 _____________。 参考答案： A 略 10. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有                                      (　　)． A．a>b>c                          B．b>c>a C．c>a>b                           D．c>b>a 参考答案： D a＝14.7，b＝15，c＝17. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 10101（2）转化为十进制数是　　． 参考答案： 21 【考点】进位制． 【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果． 【解答】解：10101（2）=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24=21， 故答案为：21． 12. 曲线在处的切线方程为______________ 参考答案： 3x-y-3=0 略 13. 若=上是减函数，则的取值范围是     。 参考答案： 略 14. 计算的值是_________。 参考答案： 2  15. 在中，角所对的边分别为，若，，则          ． 参考答案：        16. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则： （Ⅰ）4位回文数有          个； （Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有 个． 参考答案：  90 ,9×10n. 【考点】计数原理的应用． 【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数； （II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N+）位回文数的个数 【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法； 故4位回文数有9×10=90个 故答案为 90 （II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法； 第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法， 故2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个 故答案为9×10n 17. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0且=，则Sn为非负值的最大n值为　   　． 参考答案： 20 【考点】等差数列的性质． 【分析】设出等差数列的公差d，由=得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式，由Sn≥0求出n的范围，再根据n为正整数求得n的值． 【解答】解：设等差数列的公差为d，由=， 得=， 即2a1+19d=0，解得d=﹣， 所以Sn=na1+×（﹣）≥0， 整理，得： Sn=na1?≥0． 因为a1＞0， 所以20﹣n≥0即n≤20， 故Sn为非负值的最大n值为20． 故答案是：20． 【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查了不等式的解法，是基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投次:在处每投进一球得分,在处每投进一球得分;如果前两次得分之和超过分即停止投篮,否则投第三次.某同学在处的命中率为,在处的命中率为,该同学选择先在处投一球,以后都在处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为 0 2 3 4 5 (1) 求的值;(2) 求随机变量的数学期望; (3) 试比较该同学选择都在处投篮得分超过分与选择上述方式投篮得分超过分的概率的大小. 参考答案： （1） ； （2）； (3)设“同学选择A处投，以后再B处投得分超过3分”为事件A 设“同学选择都在B处投得分超过3分”为事件B ， 该同学选择都在B处得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处以后都在B处投得分超过3分的概率。 19. （1）若a、b、m、n∈R+，求证：； （2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值． 参考答案： 【考点】7F：基本不等式；R6：不等式的证明． 【分析】（1）a、b、m、n∈R+，可得（a+b）=m2+n2+，再利用基本不等式的性质即可得出． （2）， =+≥，即可得出． 【解答】（1）证明：∵a、b、m、n∈R+，∴（a+b）=m2+n2+≥m2+n2+2mn=（m+n）2，当且仅当bm=an时取等号，∴． （2）， =+≥=25，当且仅当2（1﹣2x）=3?2x，即当时取得最小值，最小值为25． 【点评】本题考查了不等式的性质与解法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20. （14分）已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），AB边上的高CE所在直线的方程为x﹣3y﹣1=0，BC边上中线AD所在直线的方程为8x+9y﹣3=0．求： （1）点A的坐标；          （2）直线AC的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】（1）根据垂直关系算出直线CE的斜率，利用点斜式给出直线AB方程并整理，得AB方程为3x+y+6=0．由AD方程与AB方程联解，可得A（﹣3，3）； （2）结合中点坐标公式解方程组算出C（4，1）．最后用直线方程的两点式列式，整理即得直线AC的方程． 【解答】解：（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，∴直线AB的斜率为﹣3， ∴直线AB的方程为y+3=﹣3（x+1），即3x+y+6=0… 由，解得，∴A（﹣3，3）… （2）设D（a，b），可得C（2a+1，2b+3） ∴，解之得 因此D（，﹣1），从而可得C（4，1）… ∴直线AC的方程为：， 化简整理，得2x+7y﹣15=0，即为直线AC的方程…（14分） 【点评】本题给出三角形的中线和高所在直线方程，求边AC所在直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和中点坐标公式等知识，属于中档题． 21. 设命题p：（x﹣2）2≤1，命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】命题p：（x﹣2）2≤1，可得解集A=[1，3]．命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，可得B=（﹣∞，﹣a﹣1]∪[﹣a，+∞）．根据p是q的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：命题p：（x﹣2）2≤1，解得1≤x≤3，记A=[1，3]． 命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，解得x≤﹣a﹣1，或x≥﹣a．记B=（﹣∞，﹣a﹣1]∪[﹣a，+∞）． ∵p是q的充分不必要条件，∴3≤﹣a﹣1，或﹣a≤1，∴a≤﹣4，或a≥﹣1． ∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）． 　 22. 2014年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据： 上春晚次数（单位：次） 2 4 6 8 10 粉丝数量（单位：万人） 10 20 40 80 100 若该演员的粉丝数量与上春晚次数满足线性回归方程，试求回归方程并就此分析，该演员上春晚12次时的粉丝数； （1）若用表示统计数据时，粉丝的“即时均值”（精确到整数），则从“即时均值”中任选三组，求这三组数据之和不超过20的概率。 参考公式： 参考答案： （1） 由题可得，， ，，， 当时，。所以上春晚12次时的粉丝数为122万人。 （2）经计算可知，这五组数据对应的“即时均值”分别为5,5,7,10,10， 所以，所求概率为：P=