2022-2023学年山西省吕梁市林枫中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年山西省吕梁市林枫中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知m，n是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列条件能使成立的是      (    ） A．  B．   C．   D． 参考答案： B 2. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是 A．         B.          C． 2       D. 3 参考答案： A 3. 当时,函数的最小值是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： A  解析： 4. 下列对古典概型的说法中正确的个数是                                    (    ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则； ④每个基本事件出现的可能性相等； A. 1      B. 2      C. 3      D. 4 参考答案： C 略 5. 已知点(3,27)在幂函数的图象上，则（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 参考答案： C 【分析】 根据幂函数定义可得的值，再将点代入即可得出结果. 【详解】点在幂函数的图象上， ，且， 解得， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查的是幂函数定义，是基础题. 6. 在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B，则点B的坐标为(     ) A．（﹣，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，） 参考答案： A 【考点】弧度制． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值． 【分析】作出单位圆，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，结合单位圆能求出B点坐标． 【解答】解：如图，作出单位圆， 由题意，，OB=1， 过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，则， ∴|OM|=，MB==， ∴B（﹣，）． 故选：A． 【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要注意单位圆的性质的合理运用． 7. 三个数的大小关系为 A           B      C          D 参考答案： D 8. 已知，，且对任意，都有： ①；②． 以下三个结论：①；②；③． 其中正确的个数为（）． A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： D ∵，， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴． 又∵， ∴是以为首项为公比的等比数列， ∴， ∴． 由，故（）正确． 由，故（）正确． 由，故（）正确． 故答案为． 9. 已知集合M={1,2,5}，，则M∩N等于（     ） （A）{1}           （B）{5}          （C）{1,2}         （D）{2,5} 参考答案： C 10. 设a=90.8，b=270.45，c=（）﹣1.5，则a，b，c大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 参考答案： C 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】考察指数函数y=3x在R上的单调性即可得出． 【解答】解：∵指数函数y=3x在R上的单调递增， a=90.8=31.6，b=270.45=31.35，c=（）﹣1.5=31.5， ∴a＞c＞b． 故选：C． 【点评】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的份为               . 参考答案： 12. 函数的图像必定经过的点的坐标为___________ 参考答案： 13. 已知＝12，且则方向上的投影为________ 参考答案： 4 略 14. 已知点在直线上，则的最小值为_______． 参考答案： 3 【分析】 由题意可知表示点到点的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型. 15. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为，从{2，4，6}中随机选取一个数为，则的概率是______________。 参考答案： 16. 设，，，则的大小关系为          （用“”连接）. 参考答案： 17. （4分）已知=（﹣1，2），=（x，﹣6），且∥，则x=           ． 参考答案： 3 考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量共线定理即可得出． 解答： ∵=（﹣1，2），=（x，﹣6），且∥，∴﹣（﹣6）=2x，解得x=3． 故答案为：3． 点评： 本题考查了向量的共线定理，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在[a，b]?D区间，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f（x），x∈D叫闭函数． （1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]； （2）若函数是闭函数，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用． 【分析】（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解； （2）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化：a，b为方程x=k+的两个实数根， 即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根，由二次方程实根分布求解即可． 【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减， 则，解得， 所以，所求的区间为[﹣1，1]； （2）若函数是闭函数，且为[﹣2，+∞）的增函数，则存在区间[a，b]， 在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]， 即， 可得a，b为方程x=k+的两个实数根， 即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根， 设f（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2， 当k≤﹣2时，有，即为，解得﹣＜k≤﹣2， 当k＞﹣2时，有，即有，无解， 综上所述，k的取值范围是（﹣，﹣2]． 19. 当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2）， （1）求的解析式； （2）求； （3）作出的图像，标出零点。 参考答案： （1） （2）        （3）图略.   略 20. 已知数列{an}的前n项和为 (1)证明:数列{an}是等差数列; (2)设,求数列{cn}的前2020项和. 参考答案： （1）见解析；（2）3030 【分析】 （1）当时，可求出首项，当时，利用即可求出通项公式，进而证明是等差数列； (2)可将奇数项和偶数项合并求和即可得到答案. 【详解】（1）当时， 当时， 综上，. 因为， 所以是等差数列. （2）法一：， 的前2020项和为： 法二：， 的前2020项和为： . 【点睛】本题主要考查等差数列的证明，分组求和的相关计算，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度中等. 21. 已知在中，所对边分别为，且 (1)求大小； (2)若求的面积S的大小． 参考答案： (1)   （2） 略 22. （15分）已知函数f(x)=． （Ⅰ）当m=8时，求f（﹣4）的值； （Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，求|f（x）|的最大值； （Ⅲ）对任意的实数m∈[0，2]，都存在一个最大的正数K（m），使得当x∈[0，K（m）]时，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此时相应的m的值． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；函数的图象． 【分析】（Ⅰ）通过m=8时，直接利用分段函数求f（﹣4）的值； （Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，画出函数的图象，利用二次函数以及周期函数，转化求解函数|f（x）|的最大值； （Ⅲ） ①当m=0时，f（x）=x2﹣1（x≥0），转化求解即可，②当0＜m≤2时，求出对称轴，要使得|f（x）|≤2，判断f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）与y=﹣2的位置关系， 通过比较根的大小，利用函数的单调性求解即可． 【解答】（本小题满分15分） 解：（Ⅰ） 当m=8时，f（﹣4）=f（﹣2）=f（0）=7﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） （Ⅱ）函数． 0≤x≤8时，函数f（x）=． f（x）=x2﹣8x+7，当x=4时，函数取得最小值﹣9，x=0或x=8时函数取得最大值：7， f（x）∈[﹣9，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣8≤x＜0时，f（x）=f（x+2），如图函数图象，f（x）∈（﹣5，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以x∈[﹣8，8]时，|f（x）|max=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （能清晰的画出图象说明|f（x）|的最大值为9，也给3分） （Ⅲ） ①当m=0时，f（x）=x2﹣1（x≥0），要使得|f（x）|≤2， 只需x2﹣1≤2，得，即，此时m=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） ②当0＜m≤2时，对称轴，要使得|f（x）|≤2， 首先观察f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）与y=﹣2的位置关系， 由x2﹣mx+m﹣1≥﹣2对于0＜m≤2恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 故K（m）的值为x2﹣mx+m﹣1=2的较大根x2， 解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 又= =﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 故， 则显然K（m）在m∈（0，2]上为增函数， 所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分） 由①②可知，K（m）的最大值为，此时m=2． 【点评】本题考查函数的图形的综合应用，二次函数以及周期函数的应用，考查转化思想以及计算能力．