江西省吉安市峡江第一中学高二数学理期末试题含解析

江西省吉安市峡江第一中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数在（1，+上是增函数的是（     ） A．=  B．=    C．       D． 参考答案： D 略 2. 下列四个命题中的真命题是(　　) A．x∈N，x2≥1          B．x∈R，x2＋3<0 C．x∈Q，x2＝3           D．x∈Z，使x5<1 参考答案： D 略 3. 在等比数列{an}中，若，，则（  ） A. 3或－3 B. 3 C. －9或9 D. 9 参考答案： B 【分析】 根据等比数列的通项公式求解，注意此题解的唯一性. 【详解】是和的等比中项，则， 解得，由等比数列的符号特征知．选B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属于基础题. 4. 下列程序框图对应的函数是（   ） A．f（x）=x B．f（x）=-x C．f（x）=|x| D．f（x）=-|x| 参考答案： C 考点：算法和程序框图 试题解析：由框图得：，即 故答案为：C 5. 在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为 （　　） A． B． C． D． 参考答案： C 6. 已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 参考答案： B 由题意， ， ∵抛物线的准线方程为 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， ∴双曲线的方程为 故选B． 7. 若偶函数f（x）在（﹣∞，0]内单调递减，则不等式f（﹣1）＜f（x）的解集是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∩（1，+∞） 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数思想；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]内单调递减， ∴函数f（x）在[0，+∞）内单调递增， 则不等式f（﹣1）＜f（x）等价为f（1）＜f（|x|）， 即|x|＞1，即x＞1或x＜﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 8. 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　) A．(－∞，]  B．(0，) C．(－，0)  D．[－，＋∞) 参考答案： A 略 9. 已知直线l?平面?，直线m ? 平面?，有下列四个命题：      ① ?//??l?m；  ② ????l//m；  ③ l//m????；  ④ l?m??//?.     其中正确的命题是（    ） A    ①与②        B    ③与④       C    ②与④             D   ①与③ 参考答案： D 10. 给出命题“己知a、b、c、d是实数，若a≠b且c≠d，则a+c≠b+d”．则在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有(  )． (A)0个     (B)1个 (C)2个     (D)4个 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=　 　． 参考答案： 3 【考点】关于点、直线对称的圆的方程． 【分析】求出圆的圆心代入对称轴方程即可求出a的值． 【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）；圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称， 可得：﹣a+2+1=0，解得a=3． 故答案为：3． 12. 已知集合A＝{ x | 2x2－x－3＜0}，B＝{ x | }，在区间 (－3，3)上任取一实数x，则x∈(A∩B)的概率为___________________． 参考答案： ． 依题意可得，B＝(－3，1)，故A∩B＝(－1，1)，又由x∈(－3，3) 则 . 13. 在等差数列中已知，a7=8，则a1=_______________ 参考答案： 10 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为_________________ 参考答案： 15. 如图所示流程图中，语句1(语句1与无关) 将被执行的次数是        参考答案： 25 略 16. 已知是复数，且，则的最大值为              参考答案： 6 17. △AOB的顶点O在坐标原点，A，B两点在抛物线y 2 = 8 x上，且△AOB的垂心恰与抛物线焦点重合，则△AOB的外接圆的方程是                      。 参考答案： ( x – 9 ) 2 + y 2 = 81 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分15分）已知抛物线点的坐标为，点在抛物线上，且满足为坐标原点． （I）求抛物线的方程； （II）过点作倾斜角互补的两条直线，与抛物线交于不同两点，与抛物线交于不同两点，弦的中点分别为.求当直线的倾斜角在时，直线被抛物线截得的弦长的最大值 . 参考答案： （I）由得出代入，得到    所以抛物线的方程为  ……………………………………………………4分（II）由题意知直线的斜率存在，且不为零，设斜率为，方程为，       则方程为 由  得：…………………………………5分      或  设，中点，则，即……………7分 又     所以的坐标为 用代替，同理得  或  ，的坐标 所以或 或 , 又因为直线的倾斜角在  ，即ks5u 所以 …………………ks5u…………………………………  9分 而    ………………………………………………………11分 由   得： 设直线与抛物线交于两点， 则 弦长 ……………………………………………………13分 因为    所以   所以  直线被抛物线截得的弦长的最大值为. …………………………15分 19. 设复数z满足，且是纯虚数，且复数z对应的点在第一象限． (I)求复数z；   (II)求的值． 参考答案： 略 20. 已知函数． （1）判断f（x）在定义域上的单调性； （2）若f（x）在[1，e]上的最小值为2，求a的值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）先确定f（x）的定义域为（0，+∞），再求导，由“f'（x）＞0，f（x）为增函数f'（x）＜0，f（x）在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论． （2）因为，x＞0．由（1）可知①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min=f（1）当0＜﹣a≤1时，即a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min=f（1）③当1＜﹣a＜e时，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，f（x）min=f（﹣a）④当﹣a≥e时，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上是减函数，f（x）min=f（e）最后取并集． 【解答】解：（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），．（0，+∞） ①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在上为增函数； ②当a＜0时，由f'（x）=0得x=﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；由f'（x）＜0得x＜﹣a； ∴f（x）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数． 所以，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数． （2）∵，x＞0．由（1）可知： ①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min=f（1）=﹣a=2，得a=﹣2，矛盾! ②当0＜﹣a≤1时，即a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min=f（1）=﹣a=2，∴a=﹣2（舍去）． ③当1＜﹣a＜e时，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数， ∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=2，得a=﹣e（舍去）． ④当﹣a≥e时，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上是减函数，有， ∴a=﹣e． 综上可知：a=﹣e． 21. 高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）： 消费金额 （0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000） 人数 5 10 15 47 x 女性消费情况： 男性消费情况： 消费金额 （0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000） 人数 2 3 10 y 2 （Ⅰ）现从抽取的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率； （Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”   女性 男性 总计 网购达人       非网购达人       总计         P（k2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附： （，其中n=a+b+c+d） 参考答案： 【考点】独立性检验的应用． 【分析】（Ⅰ）根据分层抽样方法求出x、y的值，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率； （Ⅱ）列出2×2列联表，计算观测值K2，对照表中数据，判断结论是否成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名． ∴x=80﹣（5+10+15+47）=3… y=20﹣（2+3+10+2）=3… 抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为A，B，C；两位男性设为a，b，从5人中任选2人的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10件… 设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件A 事件A包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b）共6件…∴P（A）==． … （Ⅱ）2×2列联表如下表所示   女性 男性 总计 网购达人 50 5 55 非网购达人 30 15 45 总计 80 20 100 … 则k2=…≈9.091… ∵9.091＞6.635且P（k2≥6.635）=0.010… 答：在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’”与性别有关… 22. 设x>0,y>0且x+y=1，求证：≥9. 参考答案：