贵州省贵阳市云岩区行建中学2023年高三数学理模拟试卷含解析

贵州省贵阳市云岩区行建中学2023年高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数的定义域为，若存在非零实数满足，均有，且，则称为上的高调函数．如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是（    ） A．  B．   C．    D． 参考答案： A 2. 已知集合，则A∩B=（ ） A. (2,3) B. (0,3) C. (1,2) D. (0,1) 参考答案： A 【分析】 先利用对数函数求出，再利用交集定义求出. 【详解】解：，， =， 故选A. 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用. 3. 已知为角的终边上一点，且，，则角等于（   ） A、 B、 C、 D、 参考答案： D 略 4. 已知△ABC中，∠C=90°，CB=CA=3，△ABC所在平面内一点M满足：=+，则?=(     ) A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．3 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】根据条件便可得出，由便可得到，这样进行数量积的计算便可求出． 【解答】解：如图，根据条件知，△ABC为等腰直角三角形，； ∴，； ∴ = = =5﹣4﹣2=﹣1． 故选：A． 【点评】考查直角三角形边的关系，向量减法的几何意义，向量的数乘运算、数量积的运算，以及数量积的计算公式． 5. 已知命题；命题，则下列命题中真命题的为（    ） A．     B．     C．     D．     参考答案： B 6. 下列有关命题的说法正确的是 （A）命题“若，则”的否命题为“若，则” （B）命题“”的否定是“” （C）命题“若，则”的逆否命题为假命题 （D）若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题 参考答案： D 略 7. 设，则 A. B. C. D. 参考答案： B 略 8. 已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（　　） A．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥α B．若l∥m，l?α，m?α，则l∥α C．若α⊥β，α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n 参考答案： A 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可． 【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α， 不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交， 故不正确． 故选A 9. 定义区间的长度为.若是函数 一个长度最大的单调递减区间，则                                                     (    )     A．,    B．, C．,    D．, 参考答案： D 略 10. 已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有(　　) A．10个         B．9个           C．8个          D．1个 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数的极小值点为，则的图像上的点到直线的最短距离为            . 参考答案：   12. 一组数据9.8， 9.9， 10，a， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为          ． 参考答案： 0.02 13. 抛物线上的点到焦点的距离为2，则          ． 参考答案： 2 14. 若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为       ． 参考答案： 考点：等比数列的性质． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得的最大值． 解答： 解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2?a2+4b2=1≥4|ab|． ∴． ∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1． ∴≤= ∵ ∴≥4， ∴的最大值为=． 故答案为：． 点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 15. 函数的单调递减区间是_______________   ． 参考答案： 16. 如图所示，在△ABC中，AD是高线，是中线， DC=BE, DGCE于G,  EC的长为8，则EG=__________________．                        参考答案： 【知识点】几何证明 N1 4解析：连接DE，在中，为斜边的中线， 所以．又，DGCE于G， ∴DG平分EC，故． 【思路点拨】由中，为斜边的中线，可得， 所以为直角三角形. 17. 已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是       . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分l2分)  已知等差数列{}的首项a1=1，公差d>0，且a2，a5，a14分别是等比数列{}的b2，b3，b4． (I)求数列{}与{{}的通项公式； (Ⅱ)设数列{}对任意自然数n均有成立，求的值． 参考答案： 19. 选修4-4，坐标系与参数方程     已知在直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.     (I)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；     (Ⅱ)设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离d的取值范围． 参考答案： （I）直线的普通方程为：；        曲线的直角坐标方程为---------------------------4分 （II）设点，则 所以的取值范围是.--------------------------10分     略 20. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对于任意有。 参考答案： （1）的定义域为， （i）若，即a=2，则，故在上单调增加。 （ii）若，而，故，则当时，； 当及时，。 故在上单调减少，在，上单调增加。 （iii）若，即， 同理可得在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+?)上单调增加。                   （2）考虑函数， 则， 由于，故，即在上单调增加，从而当时， 有，即，故； 当时，有。 略 21. 如图，四边形ABCD为矩形，PB=20，BC=30，PA⊥平面ABCD． （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）当AB的长为多少时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°？请说明理由． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出AB⊥AD，PA⊥AB，从而AB⊥平面PAD，再由AB∥CD，能证明平面PCD⊥平面PAD． （2）以A为原点，AP，AB，AD所以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AB的长为1时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°． 【解答】（本小题满分12分） 证明：（1）∵四边形为矩形，∴AB⊥AD， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，且PA∩AD=A， ∴AB⊥平面PAD， ∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD， ∴CD⊥平面PAD， 又因为CD?平面PCD， ∴平面PCD⊥平面PAD．…（6分） 解：（2）如图，以A为原点，AP，AB，AD所以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AB=a，则A（0，0，0），P（，0，0），B（0，a，0），C（0，a，3），D（0，0，3） =（﹣，a，3），=（﹣，0，3）， 设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则由⊥，⊥得： ﹣?x+ay+3z=0，﹣ x+3z=0 ∴=（3，0，﹣） 平面PAB的法向量为=（0，0，1） 又面PAB与面PCD所成的二面角为锐二面角，面PAB与面PCD所成的二面角为60°， ∴cos60°==，即： =2， 解得a=1 ∴当AB的长为1时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°．…（12分） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角为60°的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，2Sn=（n+1）an，数列{bn}中，bn=2． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）由题意可知：两式相减2an=（n+1）an﹣nan﹣1，则=，采用“累乘法”即可求得数列{an}，bn=2=2n+1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知： =﹣，即可求得Tn． 【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，由2Sn=（n+1）an，则2Sn﹣1=nan﹣1， 两式相减得：2an=（n+1）an﹣nan﹣1，整理得： =， 由an=??…?=??…??1=n，（n≥2）， 当n=1时，a1=1， ∴an=n，（n∈N*）； 由bn=2=2n+1． ∴{bn}的通项公式bn=2n+1； （Ⅱ）由（Ⅰ），=， ==﹣， 由数列{}的前n项和Tn，Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）， =1﹣+﹣+…+﹣， =1﹣， =． 数列{}的前n项和Tn=． 【点评】本题考查数列的前n项和求法，考查“裂项法”，“累乘法”，考查计算能力，属于中档题．