广西壮族自治区梧州市正源中学2023年高三数学文月考试题含解析

广西壮族自治区梧州市正源中学2023年高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（   ） A． B． C． D．2 参考答案： B 2. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足    则P的轨迹一定通过△ABC的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 参考答案： B 略 3.   函数f(x)=+2 (x≥1)的反函数是                                     A．y= (x－2)2+1 (x∈R)                  B．y= (x－2)2+1 (x≥2)     C．x= (y－2)2+1 (x∈R)                  D．y=(x－2)2+1  (x≥1) 参考答案： 答案：B 4. 已知施肥量与水稻产量之间的回归方程为，则施肥量时，对产量的估计值为（   ） A．398.5 B．399.5 C．400 D．400.5 参考答案： B 略 5. 已知三个互不重合的平面α、β、γ，且α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，给出下列命题：①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b＝P，则a∩c＝P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c.其中正确命题个数为(　　) A．1个           B．2个            C．3个            D．4个 参考答案： C 6. ，则使M∩N＝N成立的的值是（　　） A．1　　　 B．0          C．－1  D．1或－1 参考答案： C 因为M∩N＝N，所以，所以。 7. 在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则＝ A、　　　 B、 　　C、 　　　D、 参考答案： B 由知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B 8. 已知P（，1），Q（，－1）分别是函数的图象上相邻的最高点和最低点，则（  ） A. B. C. － D. 参考答案： B 【分析】 由点P,Q两点可以求出函数的周期，进而求出，再将点P或点Q的坐标代入，求得，即求出。 【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得 ，因为，所以，故选B。 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。 9. 对任意实数x，不等式恒成立的充要条件是  （    ） A．.    B．     C．      D． 参考答案： 答案:B 10. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”。下面4个函数中，能够被用来构造“同族函数”的是     (    ） A．      B．          C．         D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，若，则的最小值为        ． 参考答案： 12. 如图，表示南北方向的公路，地在公路的正东2km处，B地在A地东偏北方向km处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路和到A地距离相等，现要在河岸上选一处M建一座仓库，向A、B两地转运货物，经测算从M到A、B修建公路的费用均为万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元）          。 参考答案： 13. 观察：；； ；….对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是___. 参考答案： 答案:     14. 在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为　　． 参考答案： 4或 【考点】余弦定理；三角形中的几何计算． 【分析】利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长． 【解答】解：∵BC=，AC=2，△ABC的面积为4， ∴4=， ∴，∴cosC=±， ∴AB2==16，∴AB=4； 或AB2==32，∴AB=． ∴AB的长为4或． 故答案为：4或 15. 若函数的最大值与最小值分别为M,m，则M+m =          参考答案： 6  略 16. 棱长均为2的正四面体ABCD在平面α的一侧，Ω是ABCD在平面α内的正投影，设Ω的面积为S，则S的最大值为　  　，最小值为　  　． 参考答案： 2，   【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】考虑两个特殊位置，即可得出结论． 【解答】解：由题意，设过AC与BD中点的平面α平行时，S最小，最小值为=，ABCD在平面α内的正投影构成等腰直角三角形（正方形的一半）时，S最大，最大值为=2， 故答案为2，． 　 17. 在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点； ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点； ④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线. 参考答案： ①③⑤ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）． （Ⅰ） 证明：x1x2+y1y2为定值； （Ⅱ） 记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由． 参考答案： 【分析】（Ⅰ） 求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k1k2=﹣2，分别求得切线方程，代入即可求证x1x2+y1y2为定值； （Ⅱ） 直线PA的垂直平分线方程为，同理求得直线PB的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F（0，1），则， 则．则以PM为直径的圆恒过点F． 【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为． 因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，． 所以直线PA的方程为．…（1分） 因为点P（a，﹣2）在直线PA上， 所以，即．…（2分） 同理，．…（3分） 所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根． 所以x1x2=﹣8．…（4分） 又，… 所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（6分） 法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x﹣a），…（1分） ，消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0， 由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化简得k2﹣ak﹣2=0．…（2分） 所以k1k2=﹣2．…（3分） 由x2=4y，得，所以． 所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为． 所以，即x1x2=﹣8．…（4分） 又，… 所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（6分） （Ⅱ） 法1：直线PA的垂直平分线方程为，…（7分） 由于，， 所以直线PA的垂直平分线方程为．①…（8分） 同理直线PB的垂直平分线方程为．②…（9分） 由①②解得，， 所以点．…（10分） 抛物线C的焦点为F（0，1），则． 由于，…（11分） 所以． 所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分） 另法：以PM为直径的圆的方程为．…（11分） 把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解． 所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分） 法2：设点M的坐标为（m，n）， 则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2， 由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上， 则，． 两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）=0，①…（7分） 由（Ⅰ）知，代入上式得，…（8分） 当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an=0，② 假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）?（﹣a，﹣3）=0， 得ma﹣3（n﹣1）=0，③…（9分） 由②③解得，…（10分） 所以点．…（11分） 当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）． 所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标公式，韦达定理的应用，考查利用导数求抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中档题． 19. 已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|． （1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； （2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可； （2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）， 当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3， 所以﹣3≤f（x）≤3， ∴m≥﹣3； （2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0， 即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知， 当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集； 当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x2﹣10x+22≤0，∴； 当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6； 综上，原不等式的解集为． 20. 如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1 （1）求证：E是AB中点； （2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC． 参考答案： 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质． 【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论． （2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直． 【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′， ∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O， ∴O为AC1的中点， ∵E′是AB的中点， ∴OE′∥BC1；     ∵OE′?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1， ∴OE′∥平面BCC1B1， ∵OE∥平面BCC1B1， ∴E，E′重合， ∴E是AB中点； （2）∵侧面AA1C1C是菱形， ∴AC1⊥A1C， ∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC， ∴AC1⊥平面A1BC， ∵BC?平面A1BC， ∴AC1⊥BC． 　 21. （本小题满分14分） 已知数列的前项和满足：，为常数，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，设，且数列的前项和为，求证：．   参考答案： （1）解：∵，    ∴ .       ………………………………………1分 当时，，     ………………………………………3分 得，                             ………………………………………………4分 ∴ 数列是首项为，公比也为的等比数列．   ………………………………………5分