广西壮族自治区柳州市启智中学高三数学理期末试题含解析

广西壮族自治区柳州市启智中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知A，B，C三点在球心为O，半径为3的球面上，且三棱锥O—ABC为正四面体，那么A，B两点间的球面距离为                                                                                                                              （    ）        A．                         B．                         C．                      D． 参考答案： D 2. 若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，列出关系式求解离心率即可． 【解答】解：设双曲线方程：，可得渐近线方程为：bx﹣ay=0，焦点坐标（c，0）， 双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的， 可得：， 整理得：5b2=4c2，即c2=5a2，解得e=． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 3. 在△ABC中，M是BC的中点，,点P在AM上满足，则   A. 4     B. -4    C.     D. 参考答案： B 4. 已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 A. B. C. D. 参考答案： D 本题为几何概率.区域的面积为.区域A的面积为，所以点P落入区域A的概率为，选D. 5. 已知是三角形的最小内角，则的取值范围是（      ） A．     B．    C．      D． 参考答案： ，，由得，选． 6. 函数的部分图象大致为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先根据函数的奇偶性的定义得到f（x）为偶函数，再根据极限可得当x，即得解． 【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∵f（﹣x）==f（x）， ∴f（x）为偶函数， ∴f（x）的图象关于y轴对称， ∵， 根据极限可得当x， 故答案为：B 【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证. 7. 双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（　　） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解. 【详解】由题意，设，如图所示， 因为是以为直角顶点的直角三角形，且， 由，所以， 由，所以， 所以，即， 所以， 所以，， 在直角中，，即， 整理得，所以， 故选D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．. 8. 条件，条件则是的    (A)充分不必要条件     (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件       (D)既不充分也不必要条件 (4) 函数在区间(2，3)内的零点个数是 A．3      Ｂ．2     Ｃ．1    Ｄ．0 参考答案： A 略 9. 是定义在上的增函数,则不等式的解集是 （  ） A.        B.         C.      D. 参考答案： B 略 10. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为 A．        B．         C．          D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与     的夹角,且和都在集合中.给出下列命题：     ①若时，则.      ②若时，则.     ③若时，则的取值个数最多为7.     ④若时，则的取值个数最多为.      其中正确的命题序号是             （把所有正确命题的序号都填上） 参考答案： ①  ③   略 12. 圆上的点到直线的最大距离为     . 参考答案：   【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】首先不愿和直线的参数方程转化成直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离求出结果． 【解答】解：圆的参数方程，转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1 直线的参数方程：，转化成直角坐标方程为：x﹣y+1=0 则：（1，0）到直线x﹣y+1=0的距离为：d= 则：圆上点到直线的最大距离为： 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：圆和直线的参数方程和直角坐标方程的互化，点到直线距离公式的应用，属于基础题型． 13. 已知n=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣35，n∈N*，则bnSn的最小值为　　． 参考答案： ﹣25 【考点】定积分；数列的求和． 【分析】由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列{}的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案 【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x） =n2+n ∴==﹣ ∴数列{}的前n项和为Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=， bn=n﹣35，n∈N*， 则bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25， 等号当且仅当n+1=，即n=5时成立， 故bnSn的最小值为﹣25． 故答案为：﹣25 14. 已知，则         . 参考答案： 15. 函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为　   ． 参考答案： 2x﹣y﹣1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】由y=x+1nx，知，由此能求出函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程． 【解答】解：∵y=x+1nx， ∴， ∴k=y′|x=1=1+1=2， ∴函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1）， 整理，得2x﹣y﹣1=0． 故答案为：2x﹣y﹣1=0． 16. 函数 (x∈[0，π])为增函数的区间是       .. 参考答案： 略 17. 已知=（m，n﹣1），=（1，1）（m、n为正数），若⊥，则+的最小值是　　． 参考答案： 3+2 【考点】7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程得到m，n满足的条件；将待求的式子+乘以m+n后展开；利用基本不等式求出最值． 【解答】解：∵=（m，n﹣1），=（1，1），⊥ ∴?=m+n﹣1=0 ∴m+n=1 又∵m、n为正数 ∴+=（+）?（m+n）=3+（+）≥3+2 当且仅当2m2=n2时取等号 故答案为：3+2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 设数列的前项和为,且. （1）证明:数列是等比数列； （2）若数列满足，求数列的前项和为． 参考答案： （1）证明：因为， 则…… 1分        所以当时，，        整理得． 由，令，得，解得．        所以是首项为3，公比为2的等比数列．   （2）解：因为，        由，得．     所以                    所以．   略 19. 已知函数处取得极小值－4，使其导函数的取值范围为（1，3）。        （Ⅰ）求的解析式及的极大值； （Ⅱ）当的最大值。 参考答案： 解：（1）由题意知， 因此处取得极小值－4，在x=3处取得极大值。 …………4分                       …………6分 则 …………8分 （2）， ①当； ②当； ③当  …………12分 略 20. （2009广东卷理）（本小题满分14分） 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合． （1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；             （2）若曲线与有公共点，试求的最小值． 参考答案： 解析：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上， ∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）. （2）曲线， 即圆：，其圆心坐标为，半径 由图可知，当时，曲线与点有公共点； 当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为. 21. （本小题满分12分） 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA1平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．    （1）证明：AE⊥PD‘    （2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为求二面角E-AF-C的余弦值 参考答案： （1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形. 因为      E为BC的中点，所以AE⊥BC.      又   BC∥AD，因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE. 因为PA∩AD=A，所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.       所以 AE⊥PD. （2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（1）知   AE⊥平面PAD， 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE=， 所以  当AH最短时，∠EHA最大， 即     当AH⊥PD时，∠EHA最大. 此时    tan∠EHA=    因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°， 所以    PA=2. 解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，         所以   平面PAC⊥平面ABCD.         过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，         过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，        在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,        又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,        又            在Rt△ESO中，cos∠ESO=        即所求二面角的余弦值为 解法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以 E、F分别为BC、PC的中点，所以 A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（）， 所以     设平面AEF的一法向量为, 则 因此 取,则 因为  BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩