广东省河源市黄沙中学高一数学文期末试卷含解析

广东省河源市黄沙中学高一数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】95：单位向量． 【分析】由是两个单位向量，可得，即可得出． 【解答】解：∵是两个单位向量，∴， 故选：D． 2. 函数的图象大致是（     ）   A                 B               C              D 参考答案： A 3. 集合,,那么(    ) A.     B.    C.       D. 参考答案： A 4. 已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（　　） A．[，3） B．（0，3） C．（1，3） D．（1，+∞） 参考答案： A 【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质． 【分析】由x＜1时，f（x）=（3﹣a）x﹣a是增函数解得a＜3；由x≥1时，f（x）=logax是增函数，解得a＞1．再由f（1）=loga1=0，（3﹣a）x﹣a=3﹣2a，知a．由此能求出a的取值范围． 【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴x＜1时，f（x）=（3﹣a）x﹣a是增函数 ∴3﹣a＞0，解得a＜3； x≥1时，f（x）=logax是增函数，解得a＞1． ∵f（1）=loga1=0 ∴x＜1时，f（x）＜0 ∵x=1，（3﹣a）x﹣a=3﹣2a ∵x＜1时，f（x）=（3﹣a）x﹣a递增 ∴3﹣2a≤f（1）=0，解得a． 所以≤a＜3． 故选A． 5. 已知，，直线，若直线l过线段AB的中点，则a=（  ） A. -5 B. 5 C. -4 D. 4 参考答案： B 【分析】 根据题意先求出线段的中点，然后代入直线方程求出的值. 【详解】因为，，所以线段的中点为，因为直线过线段的中点，所以，解得.故选 【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单. 6. 函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（  ） A、    B、    C、  D 参考答案： B 7. 幂函数在(0,+∞)上为增函数，则实数m的值为(    ) A．0 B．1 C．2 D．1或2 参考答案： C 8. 在中，如果，那么等于（    ） A．　　         B．　　         C．           D． 参考答案： B 略 9. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： C 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角． 【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A ∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角 而三角形D1AC为等边三角形 ∴∠D1AC=60° 故选C． 10. 已知圆与圆相离，则m的取值范围（）． A．(9,+∞) B．(－∞,25) C．[9,25) D．(9,25) 参考答案： D ∵圆的圆心为(0,0)，半径为1， 圆的标准方程为， 则． 又∵两圆相离， ∴， 故选D．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知直线l：与圆交于A、B两点，过点A、B分别做l 的垂线与x轴交于C、D两点，若，则__________． 参考答案： 4 【分析】 因为直线与圆相交，且已知，由勾股定理可以构建方程求得弦心距；再由点到直线的距离公式表示弦心距，求得参数m，得倾斜角为30°，做出图像，由余弦定义得答案. 【详解】由题可知直线：与圆交于，两点， 所以设弦心距为d，有 又因为，所以，即， 所以，故直线l的斜率，则倾斜角为30° 做出图像，所以 故答案为：4 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，注意构建图像帮助分析，属于较难题. 12. 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间____________． 参考答案： （1.25，1.5） 略 13. 两人射击命中目标的概率分别为，，现两人同时射击目标，则目标能被命中的概率为　　．（用数字作答）　 参考答案： 略 14. 在△ABC中，C=，则的最大值是_______________。 参考答案： 略 15. 设集合，则=          . 参考答案： 略 16. 设平面向量，，则          .若与的夹角为钝角，则的取值范围是          ．  参考答案： ， （1）由题意得． （2）∵与的夹角为钝角， ∴，解得． 又当时，向量，共线反向，满足，但此时向量的夹角不是钝角，故不合题意． 综上的取值范围是．   17. 已知，sin()=－ sin则cos=    _． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量，． （1）若与平行，求k的值； （2）若与垂直，求k的值． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 通过坐标表示出和，根据向量平行和垂直的性质可构造关于的方程，求解得到结果. 【详解】由题意得：， （1）        （2）        【点睛】本题考查利用向量平行和垂直的性质求解参数的问题，主要利用向量的坐标运算来求解，属于基础题. 19. 已知等比数列的公比，，且，，成等差数列，数列满足： ，． （Ⅰ）求数列和的通项公式． （Ⅱ）若恒成立，求实数的最小值． 参考答案： 见解析 解：（）设， ， ． 且， ∴， ∴， 又∵ ． 而，， ∴有， ∴，， 当时，，， 故． （）若恒成立， 即：最大值， 有，时，， ， 当，，，时，， 即：或时，最大为． 即：，可得最小为． 20. 已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2． （1）求角A的值； （2）若a=，则求b+c的取值范围． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）在锐角△ABC中，根据条件利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），化简可得cosA =，由此可得A的值． （2）由正弦定理可得==2，可得 b+c=2（sinB+sinC）=2sin（B+）． 再由，求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围． 【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a?， 利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB）， 即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA， 即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=． （2）若a=，则由正弦定理可得==2， ∴b+c=2（sinB+sinC）=2=3sinB+cosB=2sin（B+）． 由于，求得＜B＜，∴＜B+＜． ∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 21. 已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）． （1）求证：BF∥面A1DE； （2）求证：面A1DE⊥面DEBC； （3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE； （2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC； （3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E的正切值． 【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE； F为A1C中点； ∴GF∥DC，且； ∴四边形BFGE是平行四边形； ∴BF∥EG，EG?平面A1DE，BF?平面A1DE； ∴BF∥平面A1DE； （2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH； AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点； ∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形； ∴A1H⊥DE，且； 在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°； 根据余弦定理，可得： HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4； ∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H； ∴A1H⊥面DEBC； 又A1H?面A1DE； ∴面A1DE⊥面DEBC； （3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O； A1H⊥面DEBC； ∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H； ∴DC⊥面A1HO； ∴DC⊥A1O，DC⊥HO； ∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角； 在Rt△A1HO中，，； 故tan； 所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2． 22. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA1，点M，N分别为A1B 和B1C1的中点． （1）证明：A1M⊥平面MAC； （2）证明：MN∥平面A1ACC1． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）证明A1M⊥MA，AM⊥AC，故可得A1M⊥平面MAC； （2）连结AB1，AC1，由中位线定理得出MN∥AC1，故而MN∥平面A1ACC1． 【解答】证明：（1）由题设知，∵A1A⊥面ABC，AC?面ABC，∴AC⊥A1A， 又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB， ∵AA1?平面AA1BB1，AB?平面AA1BB1，AA1∩AB=A， ∴AC⊥平面AA1BB1，A1M?平面AA1BB1 ∴A1M⊥AC． 又∵四边形AA1BB1为正方形，M为A1B的中点，∴A1M⊥MA， ∵AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC，∴A1M⊥平面MAC… （2）连接AB1，AC1，由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，∴MN∥AC1． 又MN?平面A1ACC1，AC1?平面A1ACC1，∴MN∥平面A1ACC1．…