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广西壮族自治区贵港市圣湖中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题:所有有理数都是实数,命题正数的对数都是负数,则下列命题中是真命题的是
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知椭圆C: +=1(a>b>0),点M,N,F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点,若∠MFN=∠NMF+90°,则椭圆C的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形,结合已知可得a,b,c的关系,进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解.
【解答】解:如图,
tan∠NMF=,tan∠NFO=,
∵∠MFN=∠NMF+90°,∴∠NFO=180°﹣MFN=90°﹣∠NMF,
即tan∠NFO=,
∴,则b2=a2﹣c2=ac,
∴e2+e﹣1=0,得e=.
故选:A.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
3. 将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】两角和与差的正弦函数;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】函数解析式提取2变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于y轴对称,即可求出m的最小值.
【解答】解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+),
∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+),
∵所得的图象关于y轴对称,
∴m+=kπ+(k∈Z),
则m的最小值为.
故选B
4. 直线l过点且与双曲线仅有一个公共点,这样的直线有( )
A. 1 条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
参考答案:
C
5. 函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex?f(x)>ex+1的解集为( )
A.{x|x>0} B.{x|x<0}
C.{x|x<﹣1,或x>1} D.{x|x<﹣1,或0<x<1}
参考答案:
A
【考点】函数单调性的性质;导数的运算.
【分析】构造函数g(x)=ex?f(x)﹣ex,结合已知可分析出函数g(x)的单调性,结合g(0)=1,可得不等式ex?f(x)>ex+1的解集.
【解答】解:令g(x)=ex?f(x)﹣ex,
则g′(x)=ex?[f(x)+f′(x)﹣1]
∵对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,
∴g′(x)>0恒成立
即g(x)=ex?f(x)﹣ex在R上为增函数
又∵f(0)=2,∴g(0)=1
故g(x)=ex?f(x)﹣ex>1的解集为{x|x>0}
即不等式ex?f(x)>ex+1的解集为{x|x>0}
故选A
6. 若不等式的解集为,则实数等于
A. -1 B. -7 C. 7 D. -5
参考答案:
D
7. 己知圆M (x+1)2+y2=64,定点N(1,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在线段MP上,且满足=2, ?=0,则点G的轨迹方程是( )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +=1
参考答案:
C
【考点】轨迹方程.
【分析】由题设知GP|=|GN|,|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=8,由|MN|=2知G是以M,N为焦点的椭圆,由此能求出点G的轨迹的方程.
【解答】解:(I)∵=2, ?=0,
∴|GP|=|GN|
∴|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=8
∵|MN|=2
∴G是以M,N为焦点的椭圆,且a=4,c=1,b2=15
∴点G的轨迹的方程为: =1.
故选C.
【点评】本题考查轨迹方程,考查椭圆的定义,考查向量知识的运用,属于中档题.
8. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.则该几何体的体积为( )
(A)48 (B)64 (C)96 (D)192
参考答案:
B
9. 运行如图的程序框图,则输出s的结果是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
10. 在等比数列中,若,则 ( )
A. B . C . D.-2
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 (用数字作答)
参考答案:
60
略
12. 复数的共轭复数是_________。
参考答案:
略
13. 若实数满足条件则的最大值是________
参考答案:
略
14. 设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=x2+2xf′(1),则f′(2)= .
参考答案:
0
【考点】导数的运算;函数的值.
【分析】先对f(x)=x2+2xf′(1)两边求导,然后代入x=1得f′(1),从而得到f′(x),进而求得答案.
【解答】解:∵f(x)=x2+2xf′(1),
∴f′(x)=2x+2f′(1),
令x=1,得f′(1)=2+2f′(1),
解得f′(1)=﹣2,
则f′(x)=2x﹣4,
所以f′(2)=2×2﹣4=0,
故答案为:0
【点评】本题考查导数的运算,考查学生灵活运用知识解决问题的能力,属基础题.
15. 已知为单位向量,=4,的夹角为,则方向上的投影为_______
16.设向量与的夹角为,定义与的“向量积”:是一个向量,它的模.若,,则 .
参考答案:
-2
16. 已知p:对, 恒成立; q:关于的方程有实数根;如果为真,为假,则实数的取值范围是______________.
参考答案:
17. 已知f(n)=1+2+3+……+(n-1)+n+(n-1)+……..+3+2+1,对任意n∈
N*,f(n+1)-f(n)=__ _____;
参考答案:
2n+1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四边形中,,,,,,求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.
参考答案:
解析:
19. 现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式.
【分析】(I)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由于A=B++,根据事件的独立性和互斥性可求出所求;
(II)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率,得到分布列,最后利用数学期望公式解之即可.
【解答】解:(I)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D
由题意知P(B)=,P(C)=P(D)=
由于A=B++
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)=P(B)+P()+P()=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)
=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×
=
(II)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5
根据事件的对立性和互斥性得
P(X=0)=P()=(1﹣)×(1﹣)×(1﹣)=
P(X=1)=P(B)=×(1﹣)×(1﹣)=
P(X=2)=P(+)=P()+P()=(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×=
P(X=3)=P(BC)+P(BD)=××(1﹣)+×(1﹣)×=
P(X=4)=P()=(1﹣)××=
P(X=5)=P(BCD)=××=
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望,以及分布列和事件的对立性和互斥性,同时考查了计算能力和分析问题的能力,属于中档题.
20. 设函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式
(2)求曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积.
参考答案:
21. 已知函数
(1)求f (x)的最小正周期;
(2)求函数f (x)在区间[0,]上的最大、最小值.
参考答案:
解:
(1) (2)
略
22. (13分)
的值
(2)排列数的两个性质:① ②
是否都能推广到的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;
若不能,则说明理由;
(3)确定单调区间。
参考答案:
在②中,当时,左边右边,等式成立;
当时,左边
右边,
函数的增区间为,;减区间为. ……13分.
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