辽宁省大连市第一百零七中学2023年高二数学文月考试卷含解析

辽宁省大连市第一百零七中学2023年高二数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的单调递增区间是 A．   B．（0，2）  C．（1，3）  D． 参考答案： D 略 2. 设点P对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（3，） D．（﹣3，） 参考答案： A 【考点】Q6：极坐标刻画点的位置． 【分析】先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标． 【解答】解：∵点P对应的复数为﹣3+3i，则点P的直角坐标为（﹣3，3），点P到原点的距离r=3， 且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为（，）， 故选 A． 【点评】本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P的极角是解题的难点． 3. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是     A                  B                C               D 参考答案： A 4. 若上是减函数，则的取值范围是(    ) A.       B.      C.     D. 参考答案： C 略 5. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且=（    ） A． B． C． D．2 参考答案： C 6. 已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为   （   ） A．3             B．4            C．5            D．6   参考答案： A 略 7. 已知集合，下列结论成立的是(     ) A．NM   B．M∪N=M  C．M∩N=N   D．M∩N={2} 参考答案： D 8. 已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为(   ) A．            B．        C．           D． 参考答案： C 9. 函数f（x）=+x2﹣3x﹣4在[0，2]上的最小值是（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣4 D．﹣ 参考答案： A 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】对f（x）进行求导，利用导数研究函数的最值问题，注意要验证端点值与极值点进行比较； 【解答】解：∵f（x）=+x2﹣3x﹣4在定义域[0，2]上， ∴f′（x）=x2+2x﹣3=（x﹣1）（x+3）， 令f′（x）=0，解得x=1或﹣3； 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）为增函数； ∴f（x）在x=1上取极小值，也是最小值， ∴f（x）min=f（1）=+1﹣3﹣4=﹣； 故选A； 10. 已知f(x)=，在区间[0,2]上任取三个数,均存在以 为边长的三角形，则的取值范围是（     ） A.           B.          C.            D.   参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是          参考答案：  从运行到步长为，运行次数为499 12. 已知点A（3，﹣1），F是抛物线y2=4x的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为　 　． 参考答案： 4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨，则当A，M，N共线时，|MF|+|MA|的最小值，则|MF|+|MA|的最小值为4． 【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），准线方程x=﹣1， 点A（3，﹣1）在抛物线内， 由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨， 则当A，M，N共线时，|MF|+|MA|的最小值， 则|MF|+|MA|的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题． 13. 比较大小：log25　　log23；（填“＞”或“＜”） 参考答案： ＞ 【考点】对数函数的图象与性质；对数值大小的比较． 【分析】利用对数函数的单调性，判断即可． 【解答】解：因为y=log2x，是单调增函数，所以log25＞log23． 故答案为：＞． 14. 某校高二（13）班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 组别 平均值 标准差 第一组 90 第二组 80 4 则全班学生的平均成绩是         ，标准差是          。 参考答案：  85、6 15. 参考答案： 略 16. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为_________． 参考答案： 8    32 【分析】 由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面为直角三角形，，，，，侧棱底面，且．然后由三棱锥体积公式与表面积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，底面为直角三角形，， ，，，侧棱底面，且． 则； 表面积为． 故答案为：8；32． 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．   17. 若双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为2，则双曲线C的离心率为_______． 参考答案： 【分析】 求解出双曲线渐近线和抛物线准线的交点，利用三角形面积构造方程可求得，利用双曲线的关系和即可求得离心率. 【详解】由双曲线方程可得渐近线方程为： 由抛物线方程可得准线方程为： 可解得渐近线和准线的交点坐标为： ，解得：    本题正确结果： 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够利用三角形面积构造方程，得到之间关系，进而得到之间的关系. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=（x﹣1）2﹣． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞2． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，推出函数的单调性即可． （Ⅱ）不妨设x1＜x2，推出0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，利用函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，得到x1＞2﹣x2，转化为：0=f（x1）＜f（2﹣x2）．求出，构造函数设g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex，再利用形式的导数，求出函数的最值，转化求解即可． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ），… f'（x）=0?x=1，当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0． 所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．… （Ⅱ）证明：，f（0）=1，不妨设x1＜x2， 又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1， 又函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减， 所以x1+x2＞2?x1＞2﹣x2等价于f（x1）＜f（2﹣x2）， 即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．… 又，而， 所以，… 设g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex，则g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）．… 当x∈（1，+∞）时g'（x）＞0，而g（1）=0，故当x＞1时，g（x）＞0． 而恒成立， 所以当x＞1时，， 故x1+x2＞2．… 19. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N， （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程； （Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为， ∴ ∴b= ∴椭圆C的方程为； （Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=， ∴|MN|== ∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ∴△AMN的面积S= ∵△AMN的面积为， ∴ ∴k=±1． 20. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值． 参考答案： 解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为， 所以， ……………1分 又椭圆的离心率为，即，所以， ………………2分 所以，. ………………4分 所以，椭圆的方程为. ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为. 由得， ………………6分 设，，因为，所以， …………7分 同理可得， ………………8分 所以，， ………………10分 ， ………………12分 设，则， ………………13分 当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. ………………14分 方法二：不妨设直线的方程. 由消去得， ………………6分 设，， 则有，. ① ………………7分 因为以为直径的圆过点，所以. 由， 得. ………………8分 将代入上式， 得. 将 ① 代入上式，解得或（舍）. ………………10分 所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点）， 所以 . ……………12分 设， 则. 所以当时，取得最大值. ……………14分 (1)由题意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程. （2）以AB为直径的圆过右顶点C，实质是,然后用坐标表示出来，再通过直线l的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数，然后利用函数的方法求最值. （Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，∴， 又椭圆的离心率为，即，所以， ∴，. ………… 3分∴，椭圆的方程为.……4分 （Ⅱ）由直线的方程.联立消去得，………… 5分 设，，则有，. ① ……… 6分 因为以为直径的圆过点，所以.由，得.…………… 7分 将代入上式，得. 将 ① 代入上式，解得或（舍）. ……… 8分 所以,记直线与轴交点为，则点坐标为， 所以 设，则. 所以当时，取得最大值为 21. 已知命题p：4﹣x≤6，q：x＞a﹣1，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】先由一元一次不等式4﹣x≤6解得x＞﹣2；再由p是q的充分不必要条件，知x＞﹣2?x＞a﹣1，而反之不可，则可求出a的取值范围． 【解答】解：由题意得：p：x≥﹣2， 又q：x＞a﹣1， 因为p是q的充分不必要条件， 所以a﹣1＜﹣2，即a＜﹣1． 故a的取值范围a＜﹣1． 【点评】本题考查一元一次不等式的解法，充分条件、必要条件的定义等，属于基础题． 22. 已知椭圆C的对