广东省清远市通儒中学高一数学理联考试卷含解析

广东省清远市通儒中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 不等式x2＜﹣2x+15的解集为（　　） A．{x|﹣5＜x＜3}B．{x|x＜﹣5}C．{x|x＜﹣5或x＞3}D．{x|x＞3} 参考答案： A 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】把不等式化为（x+5）（x﹣3）＜0，根据不等式对应方程的实数根为﹣5和3，写出解集即可． 【解答】解：不等式x2＜﹣2x+15可化为（x+5）（x﹣3）＜0， 且不等式对应方程的两个实数根为﹣5和3， 所以该不等式的解集为{x|﹣5＜x＜3}． 故选：A． 2. 设集合M=,函数若满足且，则的取值范围是                                    （  ） A．     B．    C．   D． 参考答案： C 3. 已知，则的值属于区间（   ） A．(－2,－1)         B．(1,2)       C.(－3,－2)         D．(2,3) 参考答案： D   4. 设全集U是实数集R，M={x|x＜1}，N={x|0＜x＜2}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（　　） A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≤0} D．{x|x＜2} 参考答案： A 【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】数形结合；定义法；集合． 【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（?UM），然后根据集合的基本运算求解即可． 【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为N∩（?UM）， ∵M={x|x＜1}， ∴?UM={x|x≥1}，又N={x|0＜x＜2}， ∴N∩（?UM）={x|1≤x＜2}， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础． 5. 设是定义在Ｒ上的奇函数，当时，，则（    ）        A．                    B．                     C．1                        D．3 参考答案： A 6. 设函数, 则（  ） A．         B． 11      C.       D．2 参考答案： A 因为函数, 所以； 可得 ， 所以，故选A.   7. 在等比数列中，，则等于 A.          B.         C.           D   参考答案： A 略 8. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是(    ) A．        B．        C．        D． 参考答案： A 略 9. 定义运算,如. 已知,,则    (    ) （A）                 （B）                （C）                （D） 参考答案： A 略 10. 圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的公共弦长为（　　） A． B． C．2 D．2 参考答案： C 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【分析】利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长． 【解答】解：x2+y2=50，①；x2+y2﹣12x﹣6y+40=0②； ②﹣①得：2x+y﹣15=0为公共弦所在直线的方程， 原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为： 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是_          。   参考答案： 略 12. 在锐角△ABC中，b＝2，B＝，，则△ABC的面积为_________． 参考答案： ． 由条件得， 则， 则，， 又为锐角，所以，所以△ABC为等边三角形，面积为． 13. 在半径为6cm的圆中，某扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的周长是　  　cm，该扇形的面积是　 　cm2． 参考答案： ，   【考点】扇形面积公式． 【分析】求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长及面积． 【解答】，；解：由题意，扇形的弧长l=6×=πcm， ∴扇形的周长为cm，扇形的面积S==cm2 故答案为：，． 【点评】此题主要考查了弧长公式，扇形的面积公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键，属于基础题． 　 14. 下列各式中正确的有                      .（把你认为正确的序号全部写上） （1）； （2）已知则； （3）函数的图象与函数的图象关于原点对称； （4）函数是偶函数； （5）函数的递增区间为. 参考答案： （3） 15. 设是等差数列的前n项和，若,则____________. 参考答案： 数列成等差数列，且 .   16. 关于 (x∈R)，有下列命题： (1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；(2)y＝f(x)的表达式可改写成； (3)y＝f(x)图象关于对称；(4)y＝f(x)图象关于对称．其中正确命题的序号为___________________ 参考答案： (2)(3) 17. 两个球的体积之比为，那么这两个球的表面积的比为               ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）． （1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积； （2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）； （3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用；函数的值域；二次函数的性质． 【分析】（1）当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，从而可求MN的长，由三角形面积公式求面积 （2）当MN在矩形区域内滑动，即时，由三角形面积公式建立面积模型．当MN在半圆形区域内滑动，即时，由三角形面积公式建立面积模型． （3）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案． 【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通风窗EMN的通风面积为 （2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积； 当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积 综上可得； （3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间上单调递减，则f（x）＜f（0）=； 当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时， 因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米． 19. 已知数列的前项和（为正整数）。 (1) 令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2) 令，，求使得成立的最小正整数，并证明你的结论. 参考答案： 解：（1）在中，令n=1，可得，即 当时，， .     .                   .    又数列是首项和公差均为1的等差数列.      于是. (2)由（1）得，所以 由①-②得                   ∴ ∴ 略 20. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示． （Ⅰ）求直方图中x的值； （Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数； （Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？ 参考答案： 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值． （Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数． （Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数． 【解答】（本小题10分） 解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得 （0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1 得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分） （Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分） 因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内， 设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5 得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分） （Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户， 月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户， 月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分） 抽取比例==， 所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分） 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 21. 设函数 （1）若对于一切实数恒成立，求m的取值范围； （2）若对于恒成立，求m的取值范围. 参考答案： （1）(－8,0]（2）m＞2 【分析】 （1）由不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （2）要使对于恒成立，整理得只需恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，要使不等式恒成立， ①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立； ②当时，只需，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）要使对于恒成立， 只需恒成立， 只需， 又因为， 只需， 令，则只需即可 因为，当且仅当，即时等式成立； 因为，所以，所以. 【点睛】本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题. 22. 已知f（x）=ax2﹣bx+2（a≠0）是偶函数，且f（1）=0． （1）求a，b的值并作出y=f（x）图象； （2）求函数y=f（x﹣1）在[0，3]上的值域． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】（1）由偶函数定义知f（﹣x）=f（x）恒成立，由此可求b，由f（1）=0可