辽宁省大连市教育学院附属中学高二数学理期末试卷含解析

辽宁省大连市教育学院附属中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（      ）。 A.        ，若，则 B.        ，，若，则 C.        ，若，则 D.       ，是在内的射影，若，则 参考答案： 正解：C C的逆命题是,若，则显然不成立。 误解：选B。源于对C是在内的射影理不清。 2. 直线的倾斜角是 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 参考答案： C 【分析】 求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可． 【详解】因为直线的斜率为：，直线的倾斜角为：． 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用． 3. 设全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合?UA的子集的个数是（　　） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 参考答案： B 因为，，所以，集合的子集的个数是 ，故选B. 4. x>1是x>2的什么条件：（   ） A.充分不必要;      B.必要不充分;      C.充分必要;      D.既不充分也不必要. 参考答案： B 5. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 6. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为（     ） A.         B．        C．        D． 参考答案： D 略 7. 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)    A．2        B．2    C．4     D．4 参考答案： C 8. 4名男生和2 名女生站成一排，则这2名女生不相邻的排法种数（    ） A．600          B． 480           C． 360         D． 120 参考答案： B 略 9. 下列命题为真命题的是 （A）            （B） （C）              （D） 参考答案： A 10. 已知函数在处取得极大值10，则的值为（    ） A．         B．       C.-2或         D．－2 参考答案： B 由函数，可得， 因为函数在处取得极大值， 则，即，解得或， 经验证，当时，时取得极小值，不符合题意（舍去） 所以，故选B．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果实数满足条件  ，那么的最大值为_____. 参考答案： 2 12. 命题“若 |x|>3 , 则 x>3或x<-3”的逆否命题是           参考答案： 若-3, 则|x|3. 略 13. 若，则的最大值为____▲____． 参考答案： 3  略 14. 函数在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是_______。 参考答案： 试题分析：由题意得：在上恒成立，所以即实数的取值范围是. 考点：利用导数研究函数增减性 15. 过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为　　． 参考答案： x+2y﹣4=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程 【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2） 由题意可得，两式相减可得 由中点坐标公式可得，， ==﹣ ∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0 故答案为x+2y﹣4=0 【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用． 16. 在命题“若|m|＞|n|，则m2＞n2”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为　  　． 参考答案： 4 【考点】四种命题． 【分析】判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案． 【解答】解：若|m|＞|n|等价于m2＞n2”故命题“若|m|＞|n|，则m2＞n2”真假命题， 故其逆否命题为真命题， 其逆命题为：“m2＞n2则，|m|＞|n＞1”为真命题， 故其否命题也为真命题， 故答案为：4 17. 一束光线从点出发经轴反射到圆C：上的最短路程是                . 参考答案： 4 试题分析：先作出已知圆C关于x轴对称的圆C′，如下图 则圆C′的方程为：，所以圆C′的圆心坐标为（2，-3），半径为1， 则最短距离d=|AC′|-r=. 考点：1.直线与圆的位置关系；2.图形的对称性． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (10分) 已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标. 参考答案： （Ⅰ）由椭圆C的离心率 得，其中， 椭圆C的左、右焦点分别为又点F2在线段PF1的中垂线上 解得             （Ⅱ）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为 由 消去设 则 且    ----------（8分） 由已知， 得 化简，得     --------（10分） 整理得 直线MN的方程为， 因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）----（12分）  19. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣与x=1处都取得极值． （1）求a，b的值； （2）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可， （2）求出切点坐标，利用导数几何意义求出切线斜率k，即可求解切线方程 【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b， 由f′（）=﹣a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0， 得a=﹣，b=﹣2， 经检验，a=﹣，b=﹣2符合题意； （2）由（1）得f′（x）=3x2﹣x﹣2， 曲线y=f（x）在x=2处的切线方程斜率k=f′（2）=8， 又∵f（2）=2， ∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣2=8（x﹣2）， 即8x﹣y﹣14=0为所求． 20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a﹣c=b，sinB=sinC． （1）求cosA的值； （2）求cos（A+）的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的余弦函数；正弦定理． 【分析】（1）由正弦定理得sinA﹣sinC=sinB=×sinC，即有sinA=2sinC，a=2c，b=c，从而可由余弦定理求出cosA的值； （2）先求出sinA的值，再由两角和的余弦公式求出cos（A+）的值． 【解答】解：（1）∵a﹣c=b，sinB=sinC． ∴由正弦定理得，sinA﹣sinC=sinB=×sinC， 即有sinA=2sinC，a=2c，b=c， 由余弦定理知，cosA====． （2）∵由（1）知，cosA=．A为三角形内角，sinA==， ∴cos（A+）=cosAcos﹣sinAsin=． 21. 设△所对的边分别为，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求. 参考答案： （Ⅰ）∵          ∴          ∴ （Ⅱ）在△ABC中，∵       ∴且为钝角. 又∵   ∴  ∴ ∴             22. 已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．求：（1）求圆的直角坐标方程； （2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围． 参考答案： （1）因为圆的极坐标方程为 所以 又 所以 所以圆的直角坐标方程为：.  6分 （2）『解法1』： 设 由圆的方程 所以圆的圆心是，半径是 将代入得             又直线过，圆的半径是，由题意有： 所以 即的取值范围是.                     14分 『解法2』： 直线的参数方程化成普通方程为：            由 解得，             ∵是直线与圆面的公共点， ∴点在线段上， ∴的最大值是， 最小值是 ∴的取值范围是.        14分