广东省湛江市第十五中学高三数学文上学期期末试卷含解析

广东省湛江市第十五中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=(     ) A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： B 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A， 直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小， 由，解得， 即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B， 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大， 由，解得， 即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3， 则m﹣n=3﹣（﹣3）=6， 故选：B． 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 2. 把函数f（x）=sin（2x+?）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于对称，则=(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）=sin（2x++?），再利用正弦函数的图象的对称性，求得?的值，可得的值． 【解答】解：把函数f（x）=sin（2x+?）的图象向左平移个单位， 得到函数g（x）=sin[2（x+）+?]=sin（2x++?）的图象． 由g（x）的图象关于对称，可得sin（?﹣）=0，?﹣=kπ，k∈z． 结合?∈（﹣，）可得?=，f（x）=sin（2x+） 则=sin（π+）=﹣sin=﹣， 故选：C． 【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 3. 已知i是虚数单位，复数（其中）是纯虚数，则m= （A）－2            （B）2              （C）            （D） 参考答案： B 4. 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为（    ） A． 1        B．       C.         D． 参考答案： D 在直角坐标系中作出区域A，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域为下图中的四边形，所以其面积为，故选D.   5. 已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长． 【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为， 设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x， 可得|F2M|===b， 即有|OM|==a， 由S=16，可得ab=16， 即ab=32，又a2+b2=c2，且=， 解得a=8，b=4，c=4， 即有双曲线的实轴长为16． 故选：C． 6. （sinx+x2）dx=（　　） A．0 B． C． D．1 参考答案： C 【考点】定积分． 【专题】导数的综合应用． 【分析】根据积分公式进行求解即可． 【解答】解：（sinx+x2）dx=（﹣cosx+x3）|=﹣cos1+﹣[﹣cos（﹣1）﹣]=， 故选：C． 【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的积分，比较基础． 7. 甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图），分别表示甲、乙选手分数的标准差，则与的关系是（填“”、“”或“＝”） A．     B．    C．     D．不确定   参考答案： C 略 8. 已知集合，,则是 (　　) A．        B．     C．        D． 参考答案： 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】D  由题意得A={x },B={x}则， 故选D. 【思路点拨】先分别求出A,B再求。 9. 已知曲线的极坐标方程为，则其直角坐标下的方程是(    ) A．    B． C．    D． 参考答案： C 略 10. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，底面边长为12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（　　） A．36πcm2 B．64πcm2 C．80πcm2 D．100πcm2 参考答案： B 【考点】球的体积和表面积． 【分析】据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出球的表面积． 【解答】解：根据几何意义得出：边长为12的正三角形，球的截面圆为正三角形的内切圆（如图1）， ∴内切圆的半径为O1D=2， ∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm， ∴d=8﹣6﹣8=2， ∴球的半径为：R R2=（R﹣2）2+（2）2，解得R=4 则球的表面积为4πR2=64π 故选：B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列{an}的通项公式是an ＝，若前n项和为10，则项数n＝_________. 参考答案： 120 12. 等于        . 参考答案： 答案：   13. 设a、b为空间的两条直线，α、β为空间的两个平面，给出下列命题： ①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，a⊥β，则α⊥β； ③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 上述命题中，所有真命题的序号是      ． 参考答案： ④ 14. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，则此球的表面积等于________. 参考答案： 15. 已知，若的夹角为钝角， 则实数的取值范围为          ． 参考答案： 答案：   16. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，设向量=﹣λ，若⊥，则实数λ=    ． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；平面向量及应用． 【分析】由向量垂直的条件得到（﹣λ）?=0，求出向量AB，AC的坐标和模，再由数量积的坐标公式，即可求出实数λ的值． 【解答】解：∵向量=﹣λ，⊥， ∴=0，即（﹣λ）?=0， ∴=λ ∵，， ∴=6，||=2， ∴λ=． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示、向量垂直的条件、向量的模，考查基本的运算能力，是一道基础题． 17. 函数则函数的零点是             ． 参考答案： 0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直三棱柱中，，，，. （1）试在线段上找一个异于，的点，使得，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，求多面体的体积. 参考答案： （1）【考查意图】本小题以直三棱柱为载体，考查直线与平面垂直的性质及判定等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想. 【解法综述】只要根据直三棱柱的性质，结合已知条件确定点的位置，再利用直线与平面垂直的性质及判定定理进行证明，便可解决问题. 思路一：先由直三棱柱的性质及得到平面，从而有，所以要使，只需即可，然后以此为条件进行证明即可. 思路二：同思路一得到，要使，只需即可.然后以为条件求得，再证明当时即可. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据已知条件正确找到点；证明过程逻辑混乱. 【难度属性】中. （2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查多面体的体积、直线与平面垂直的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等. 【解法综述】将所求多面体分割成两个三棱锥进行求解. 思路：把多面体分割为三棱锥和三棱锥，分别计算体积并求和. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将所求多面体正确割补成易于计算体积的几何体；体积公式记忆错误或计算错误. 【难度属性】中. 19. [选修4-5：不等式选讲] 已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2） 参考答案： 【考点】不等式的证明． 【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论． 【解答】证明：∵a≠b， ∴a4+6a2b2+b4﹣4ab（a2+b2）=（a﹣b）4＞0， ∴原不等式成立． 20. （14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0） （1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围； （2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）； （3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084） 参考答案： 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 分析：（1）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围； （2）由（1）可知a≥时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论； （3）运用（2）的结论和S=1+++…+＜1×2++…+×28=9，即可得到整数部分． 解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a）， f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立， 设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立， ∴g（x）min≥0， 又∵g′（x）=a﹣﹣=， 而当=1，即a=时， ①当≤1即a时， g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立， ∴g（x）min=g（1）=0≥0； ②当＞1即0＜a＜时， g′（x）=0时x=； 且1≤x＜时，g′（x）＜0， 当x＞时，g′（x）＞0； 则g（x）min=g（）≥0①， 又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍． ∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．   （2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立， 则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立， 令x依次取，，，…，时， 则有 ×（ ﹣）≥ln ，×（ ﹣）≥ln ， …×（ ﹣）≥ln ， 由同向不等式可加性可得 [（+++…+）﹣（ +++…+）]≥ln（n+1）， 即 [（1+++…++n）﹣（n﹣﹣﹣﹣…﹣）]≥ln（n+1）， 也即 [2（1+++…+）+﹣1]≥ln（n+1）， 也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．   （3）由（2）的结论，可得，S=1+++…+≥ln2015+∈（8，9）， 又S=1+++