广西壮族自治区南宁市思陇中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

广西壮族自治区南宁市思陇中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则 A. 上单调递减 B. 上单调递减 C. 上单调递增 D. 上单调递增 参考答案： A 2. 下列函数中，不是偶函数的是（　　） A．y=sin（2x﹣） B．y=cos（2x﹣） C．y=10x+10﹣x D．y=ln（x2+1） 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的判断． 【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【解答】解：y=sin（2x﹣）=﹣cos2x，为偶函数， y=cos（2x﹣）=sin2x为奇函数， f（﹣x）=10x+10﹣x=f（x），则f（x）=10x+10﹣x为偶函数， f（﹣x）=ln（x2+1）=f（x），则f（x）为偶函数， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义和性质进行判断是解决本题的关键． 3. 已知幂函数f（x）=xα的部分对应值如表： x 1 f（x） 1 则不等式f（|x|）≤2的解集是（　　） A． B．{x|0≤x≤4} C． D．{x|﹣4≤x≤4} 参考答案： D 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【分析】先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论． 【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，则（）α=，∴α=， ∴f（x）=x 不等式f（|x|）≤2等价于|x|≤2，∴|x|≤4 ∴﹣4≤x≤4 ∴不等式f（|x|）≤2的解集是{x|﹣4≤x≤4}． 故选D． 4. 若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4，5}，N={2，3}，则集合（?UN）∩M=（　　） A．{2，3} B．{2，3，5} C．{1，4} D．{1，4，5} 参考答案： D 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合思想；定义法；集合． 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：?UN={1，4，5，6}， 则（?UN）∩M={1，4，5}， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 5. 设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)                                        A．3          B D．1      C．－1        D．－3 参考答案： 6. 已知关于的方程有一解，则的取值范围为（ ）  （A）  （B）   （C）  （D） 参考答案： A 略 7. 下列函数中，既是偶函数，又在（1，+∞）上单调递增的为（　　） A．y=ln（x2+1） B．y=cosx C．y=x﹣lnx D．y=（）|x| 参考答案： A 【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性判断A；由余弦函数的奇偶性、单调性判断B；由对数函数的定义域和奇偶性判断C；由指数函数的单调性判断D． 【解答】解：A．y=ln（x2+1）满足f（﹣x）=f（x），所以是偶函数， 由复合函数的单调性知在（1，+∞）上单调递增，则A满足条件； B．y=cosx是偶函数，在（1，+∞）上不是单调函数，则B不满足条件； C．y=x﹣lnx在定义域（0，+∞）上为非奇非偶函数，则C不满足条件； D．y=（）|x|是偶函数，由指数函数的单调性知在（1，+∞）上单调递减，则D不满足条件， 故选：A． 8. 若，则的值为（  ） A  -2         B   -1            C    0            D    2 参考答案： B 9. 实数m是区间上的随机数，则关于x的方程有实根的概率为 A． B． C． D． 参考答案： B 10. 已知集合，，则=(　 ) A． B． C．，或        D．，或 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则k＝________． 参考答案： 答案：   12. 如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题： ①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交； ②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直； ③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交； ④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行． 其中真命题是是  ********  .（填写真命题的序号） 参考答案： 【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系．G3  【答案解析】①②④ 解析：过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，设交点为P， 连接MP，则MP 与直线AB相交，∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；①正确 ∵直线BC∥直线B1C1，直线BC与直线AB确定平面ABCD，过点M有且只有直线D1D⊥平面ABCD 即过点M有且只有直线D1D⊥AB，⊥BC，∴过点M有且只有直线D1D⊥AB，⊥B1C1∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；②正确 过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交， 过M点与直线B1C1有且只有一个平面，该平面与直线AB相交， ∴过点M不止一个平面与直线AB、B1C1都相交，③错误 过M分别作AB，B1C1的平行线，都有且只有一条，这两条平行线成为相交直线，确定一个平面， 该平面与AB，B1C1平行，且只有该平面与两直线平行，∴④正确 故答案为①②④． 【思路点拨】①需要构造一个过点M且与直线AB、B1C1都相交的平面，就可判断； ②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断； ③可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B1C1都相交的平面，即可判断． ④利用线面平行的性质来判断即可． 13. 已知函数f（x）=sin（2x+），对任意的x1，x2，x3，且0≤x1＜x2＜x3≤π，都有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|≤m成立，则实数m的最小值为　   　． 参考答案： 3+   【考点】正弦函数的图象． 【分析】根据三角函数f（x）=sin（2x+）在x∈[0，π]的图象与性质，即可求出对任意的x1，x2，x3，且0≤x1＜x2＜x3≤π时， |f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|的最大值，从而求出实数m的最小值． 【解答】解：函数f（x）=sin（2x+），其中x∈[0，π]， ∴2x+∈[，]， ∴﹣1≤f（x）≤1； 又对任意的x1，x2，x3，且0≤x1＜x2＜x3≤π， 都有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|≤m成立， 不妨令f（x2）=﹣1，则： 当f（x1）=1、f（x3）=时， |f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|取得最大值为2+1+=3+； ∴实数m的最小值为3+． 故答案为：3+． 　 14. （2013?汕头一模）函数y=lnx在点A（1，0）处的切线方程为　_　． 参考答案： 15. 设满足约束条件若目标函数的最大值为1，则的最小值为         ． 参考答案： 9 16. 已知全集集合则  ▲   . 参考答案： 17. 如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R是　  　cm． 参考答案：   【考点】球的体积和表面积． 【分析】根据三个小球和碗的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到碗的半径． 【解答】解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图： 则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心， ∵小球的半径为10cm， ∴三个球心之间的长度为20cm， 即OA=cm．， 在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O）， 和切点A构成直角三角形， 则OA2+AB2=OB2， 其中OB=R﹣10，AB=10， ∴， 即， ∴， 即R=10+=cm． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了球的相切问题 的计算，根据条件作出正视图和俯视图，确定球半径之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若函数的图象与的图像有公共点，求的取值范围. 参考答案： 即是，由绝对值的几何意义可得解集为.........5分 （2）............................8分 所以的取值范围是............................12分 19. 如图，在四边形ABCD中，，．已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求BC的长． 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）在中，由正弦定理可得答案; （Ⅱ）由结合（Ⅰ）可得，在中，由余弦定理得BC值. 【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得． 因为， 所以                      （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 因为， 所以． 在中，由余弦定理， 得． 因为 所以， 即， 解得或． 又，则． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题. 20. （本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，， 是中点. （I）求证：平面； （II）若棱上存在一点，满足，求的长； （Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 参考答案： (I) 连接交于点，连接 因为为正方形，所以为中点， 又为中点，所以为的中位线，  所以                                                                                                      ………………2分 又平面，平面  所以平面                                                                                                   ………………4分  （Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系 　所以      设，所以，         因为，所以 ，解得，所以  ……8分    （Ⅲ）因为，      设平面的法向量为，      则有，得，      令则，所以可以取，  …………10分      因为平面,取平面的法向量为 …11分      所以                             …13分 　平面与平面所成锐二面角的余弦值为    …………14分   21. 已知右焦点为的椭圆关于直线对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为.证明：直线与轴的交点为. 参考答案： (1) ;(2) 详见解析. （1）由题意得椭圆的焦点在轴上，∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，∵，∴，解得.∴椭圆的方程为. （2）证明：易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，代入得，由得，.设，，，则，，则直线的方程为.令得 ，∴直线过定点，又的右焦