广西壮族自治区南宁市横县莲塘中学高二数学文联考试卷含解析

广西壮族自治区南宁市横县莲塘中学高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合；则(     )        A.            B．             C.             D． 参考答案： A 2. 已知双曲线的左右焦点分别为和,点O为双曲线的中心，点P在双曲线的右支上，内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是   (A)                     (B) (C)                      (D)与大小关系不确定 参考答案： B 3. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 参考答案： A 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面EFD所成角． 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz， D为坐标原点．P（0，0，a），B（a，a，0）， =（a，a，﹣a），又=（0，，）， =0+=0， ∴PB⊥DE． 由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D， ∴PB⊥平面EFD， ∴PB与平面EFD所成角为90°． 故选：A． 4. 下列命题中，真命题是：                                        （   ） A．             B． C．a+b=0的充要条件是=-1     D．a>1,b>1是ab>1的充分条件 参考答案： D 略 5. 在△中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则 A.2            B.4                C.5       D.10  参考答案： D 6. 当时，与的关系为(  ) A.    B.      C.     D.大小关系不确定 参考答案： A 略 7. 若原点和点分别在直线的两侧，则的取值范围是 A． B． C．或 D．或 参考答案： B 略 8. 曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4） 参考答案： C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标． 【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1， 所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4． 因为函数的导数为f'（x）=3x2+1， 由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1． 当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4． 所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）． 故选C． 【点评】本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，利用直线平行确定切线斜率是解决本题的关键． 9. 设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为 A  2  B  2或 C    D 参考答案： 解析：D     易错原因：忽略条件对离心率范围的限制。 10. (原创)某人将英语单词“apple”记错字母顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重犯)(   )   A.60                B.59              C.58              D.57 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在数列中，若，，则_______________． 参考答案： 5 12. 如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长 的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是            米． 参考答案： 13. 与双曲线有共同的渐近线，且经过点M(-3，2)的双曲线的方程为       . 参考答案： 14. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________。 参考答案： 15. 若双曲线的离心率为2，则等于____________． 参考答案： 略 16. 已知复数满足，则复数的模是  ▲  ． 参考答案： 17. 通过直线及圆的交点，并且有最小面积的圆的方程为                   参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设。 （1）求的值；（2）归纳{}的通项公式，并用数学归纳法证明     参考答案： 解：（1）… 4   （2）根据计算结果，可以归纳出 ……….. 6分     证明：① 当n=1时, 与已知相符，归纳出的公式成立。……8           ② 假设当n=k()时，公式成立，即那么,          所以，当n=k+1时公式也成立。…………………11分          由①②知，时，有成立。………….12分   19. 在△中，已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，△的面积是，求． 参考答案： 略 20. 已知△ABC的面积为S，且. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，，求△ABC的面积S. 参考答案： （1）        （2） （1）设的角所对应的边分别为， ∵，∴，∴，∴.....3分 ∴.            ............ ...................... ............................................................6分 (2)，即，    ............ ...................... ................................................................7分 ∵，，∴，. ∴....9分 由正弦定理知：，............... ..........................................................10分 .           ............................................12分. 21. 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 参考答案： （1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测. 详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数. 22. 点，是椭圆：上两点，点满足. （1）若点M在椭圆上，求证：； （2）若，求点M到直线距离的取值范围. 参考答案： （1）详见解析；（2）. 【分析】 （1）设点，由，可得，，由点椭圆上，∴，代入可得证明； （2）由（1）和，可得点在椭圆上.，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，整理可得的值，可得点到直线距离的取值范围. 【详解】解：设点，由， 可得：， 即.  ① （1）∵点在椭圆上，∴. 将①代入上式得， 展开并整理得. ∵点，在椭圆上，∴且. ∴，即. （2） ， 即点M在椭圆上. 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为. 消去并整理得， 令判别式，即，解得. 点到直线距离的最大值为， 最小值为， ∴点M到直线距离的取值范围是. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及向量与椭圆的综合，及直线与椭圆的位置关系，相对较复杂，需注意运算的准确性.