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广东省深圳市盐港中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U=R,集合,则
A. (-∞,2) B. (-∞, -2]∪[2,+∞) C. (-∞, -2)∪(2,+∞) D.[-2,2]
参考答案:
C
2. 已知各项均不为零的数列,定义向量,,. 下列命题中真命题是
A. 若总有成立,则数列是等差数列
B. 若总有成立,则数列是等比数列
C. 若总有成立,则数列是等差数列
D. 若总有成立,则数列是等比数列
参考答案:
A
3. 在如图所示的程序框图中,若输入的,输出的,则判断框内可以填入的条件是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
输入,,
,
当,
当,当时,满足条件
退出循环,
故选
4. 命题p:“若x2 -3x+2≠0,则x≠2”,若p为原命题,则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
5. 如图所示的茎叶图中,中位数和众数分别是__________.
A. 93,92 B. 92,93
C. 91, 93 D. 93, 93
参考答案:
B
6. 如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
7. 如果函数在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 若,且,则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
,所以选B.
10. 若,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合,
则
参考答案:
12. 已知,则=___ ▲ __________;
参考答案:
13. 数列的前项和为,且,则的通项公式_____.
参考答案:
14. 函数f (x)满足f(-1)=.对于x,y,有,则f(-2012)=__
参考答案:
15. 如果函数,,关于的不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
16. 若长方体的长、宽、高分别为1、2、3,则该长方体的外接球的表面积为 .
参考答案:
14π
17. 函数f(x)=ax2+bx﹣1,且0≤f(1)≤1,﹣2≤f(﹣1)≤0,则z=的取值范围是 .
参考答案:
[,2]
【考点】简单线性规划;二次函数的性质.
【分析】利用已知条件得到a,b的不等式组,利用目标函数的几何意义,转化求解函数的范围即可.
【解答】解:函数f(x)=ax2+bx﹣1,且0≤f(1)≤1,﹣2≤f(﹣1)≤0,
可得0≤a+b﹣1≤1,﹣2≤a﹣b﹣1≤0,
即,表示的可行域如图:
,
则z==,令t=,可得z==+.t≥0.
,又b=1,a=0成立,此时z=,
可得z∈[,2]
故答案为:[,2].
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
在中,角A、B、C所对的边分别为,且
(I)求角C的大小;
(II)若的面积,求的值.
参考答案:
19. 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足S3=3a3+2a2,a4=8.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列bn=log2an,求{|bn|}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【分析】(Ⅰ)设正项等比数列{an}的公比为q,则q>0,根据已知条件和等比数列的通项公式求得q的值,则an=a4qn﹣4;
(Ⅱ)由bn=|log2an|,an=2n﹣7,知bn=|log22n﹣7|=|n﹣7|,由此能求出数列{bn}的前n项和.
【解答】解:(Ⅰ) 设正项等比数列{an}的公比为q,则q>0.
由已知S3=3a3+2a2有2a3+a2﹣a1=0,即,
∴2q2+q﹣1=0故或q=﹣1(舍)
∴;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:bn=7﹣n故当n≤7时,bn≥0
∴当n≤7时,
当n>7时,Tn=b1+b2+…+b7﹣(b8+b9+…+bn)
=2(b1+b2+…+b7)﹣(b1+b2+…+bn)
=﹣+42,
∴Tn=.
【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
20. 已知f(x)=xlnx+mx,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.
(1)求实数m的值;
(2)设在定义域内有两个不同的极值点x1,x2,求a的取值范围;
(3)已知λ>0,在(2)的条件下,若不等式恒成立,求λ的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】(1)求出原函数的导函数,得到f′(1),由f′(1)=1求得m值;
(2)求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,结合函数的单调性确定a的具体范围即可;
(3)求出g(x),求其导函数,可得lnx1=ax1,lnx2=ax2,原式等价于ln<恒成立.令t=,t∈(0,1),则不等式lnt<在t∈(0,1)上恒成立,令h(t)=lnt﹣,根据函数的单调性求出λ的范围即可.
【解答】解:(1)f′(x)=1+lnx+m,
由题意知,f′(1)=1,即:m+1=1,解得 m=0;
(2)因为g(x)在其定义域内有两个不同的极值点x1,x2,
所以g′(x)=f′(x)﹣ax﹣1=lnx﹣ax=0有两个不同的根x1,x2,
设ω(x)=g′(x)=lnx﹣ax,则φ′(x)=(x>0),
显然当a≤0时ω′(x)>0,ω(x)单调递增,不符合题意,所以a>0,
由ω′(x)=0,得:x=,
当0<x<时,ω′(x)>0,ω(x)单调递增,当x>时,ω′(x)<0,ω(x)单调递减,
所以ω()>0,从而得0<a<,…
又当x→0时,ω(x)→﹣∞,所以ω(x)在(0,)上有一根;
∵>e,∴>,取x=,ω()=﹣2lna﹣,
设r(a)=﹣2lna﹣,则r′(a)=>0,r(a)在(0,)上单调递增,
r(a)<r()=2﹣e<0,所以ω(x)在(,)上有一根;
综上可知,当0<a<时,g′(x)=0有两个不同的根
所以a的取值范围为(0,).
(3)∵e1+λ<x1?x2λ 等价于1+λ<lnx1+λlnx2.
g(x)=f(x)﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a,
由题意可知x1,x2 分别是方程g′(x)=0,即:lnx﹣ax=0的两个根,
即lnx1=ax1,lnx2=ax2.
∴原式等价于1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),
∵λ>0,0<x1<x2,∴原式等价于a>,
又由lnx1=ax1,lnx2=ax2.
作差得,ln =a(x1﹣x2),即a=,
∴原式等价于>,
∵0<x1<x2,原式恒成立,即ln<恒成立.
令t=,t∈(0,1),
则不等式lnt<在t∈(0,1)上恒成立.
令h(t)=lnt﹣,又h′(t)=,
当λ2≥1时,可得t∈(0,1)时,h′(t)>0,
∴h(t)在t∈(0,1)上单调增,又h(1)=0,
h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合题意.
当λ2<1时,可得t∈(0,λ2)时,h′(t)>0,t∈(λ2,1)时,h′(t)<0,
∴h(t)在t∈(0,λ2)时单调增,在t∈(λ2,1)时单调减,又h(1)=0,
∴h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述,若不等式e1+λ<x1?x2λ 恒成立,只须λ2≥1,
又λ>0,∴λ≥1.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数求函数的极值,考查数学转化思想方法,训练了学生的灵活变形能力和应用求解能力,属压轴题.
21. 在平面直角坐标上有一点列对一切正整数n,点 在函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,-1为公差的等差数列
(I)求点的坐标;
(II)设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于x轴,抛物线Cn的顶点为,且过点。记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为,求的值;
(III)设,等差数列的任一项,其中中的最大数,,求数列的通项公式。
参考答案:
略
22. (本小题满分13分) 若的定义域为 ,值域为,则称函数是上的“四维方军”函数.
(1)设是上的“四维方军”函数,求常数的值;
(2)问是否存在常数使函数是区间上的“四维方军”函数?若存在,求出的值,否则,请说明理由.
参考答案:
(1)由ks5u
∵ ……………………3分
∴ ∴ …………………………5分
(2)假设存在与使是“四维方军”函数,
∵在上单调递减 ∴
∴ ………………8分
∴ ………………10分
∴,这与已知矛盾 ………………12分
∴不存在使得是“四维方军”函数 ………………13分
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