福建省泉州市英都中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

福建省泉州市英都中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数若则等于             （    ） A.2    B. -2      C. 3    D. -3 参考答案： C. 试题分析：由题意得，，将代入到即可求得，故选C. 考点：导函数的求值. 2. 已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N的坐标是(     ) A．（﹣2，﹣1） B．（2，3） C．（2，1） D．（﹣2，1） 参考答案： B 考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系． 专题：计算题． 分析：根据点N在直线x﹣y+1=0上，设点N坐标为（x0，x0+1），利用经过两点的斜率公式，得到直线MN的斜率关于x0的表达式，最后根据直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，得到两直线斜率乘积等于﹣1，建立等式并解之可得点N的坐标． 解答：解：∵点N在直线x﹣y+1=0上 ∴可设点N坐标为（x0，x0+1） 根据经过两点的直线的斜率公式，可得 = ∵直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，而直线x+2y﹣3=0的斜率为 ∴?=2?x0=2 因此，点N的坐标是（2，3） 故选B 点评：本题借助于直线与垂直，求点的坐标为例，着重考查了直线的方程、直线斜率的求法和直线垂直的斜率关系等知识点，属于基础题． 3. .函数,那么任意使的概率为  (    )   A．             B.            C．        D． 参考答案： C 略 4. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为 （  ）            A．65辆    B．76辆      C．88辆          D．95辆 参考答案： B 5. 某事件发生的概率为，则事件在一次试验中发生的次数的方差的最大值为（     ） A．         B．             C．         D． 参考答案： C 根据题意，由于事件发生的概率为，事件在一次试验中发生的次数的期望值为p,方差为p(1-p)=p-p ,结合二次函数的性质可知函数的最大值为，故可知答案为C. 6. 当a>0时，函数的图象大致是(　 　) 参考答案： A 7. 两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，对于样本点，，…，，可以用来刻画回归的效果，已知模型1中，模型2中，模型3中，模型4中，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型1         B．模型2       C．模型3         D．模型4 参考答案： A 8. 已知xy＞0，若x2+4y2＞（m2+3m）xy恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1或m≤﹣4 B．m≥4或m≤﹣1 C．﹣4＜m＜1 D．﹣1＜m＜4 参考答案： C 【考点】基本不等式． 【分析】xy＞0，x2+4y2＞（m2+3m）xy，可得m2+3m＜，利用基本不等式的性质求出的最小值，即可得出． 【解答】解：∵xy＞0，x2+4y2＞（m2+3m）xy，∴m2+3m＜， ∵≥=4，当且仅当x=2y＞0时取等号． ∴m2+3m＜4，解得﹣4＜m＜1． ∴实数m的取值范围是﹣4＜m＜1． 故选：C． 9. 已知数列{an}是等差数列a2＋a8=16，a4=6，则a6=？     A.7        B.8        C.10       D.12 参考答案： C 略 10. 若函数在上既是奇函数，又是减函数，则函数的图象是                                            参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知复数(为虚数单位），则复数的模=  ▲     ． 参考答案： 略 12. 已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线3x﹣4y+20=0相切，则r=　   　． 参考答案： 4 【考点】圆的切线方程． 【分析】由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案． 【解答】解：由x2+y2=r2，可知圆心坐标为（0，0），半径为r， ∵圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线3x﹣4y+20=0相切， 由圆心到直线的距离d==4， 可得圆的半径为4． 故答案为：4． 13. 已知实数满足约束条件,则的最小值为          . 参考答案： 3 14. 如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=　　． 参考答案： 4 【考点】伪代码． 【分析】根据伪代码可知该题考查一个分段函数f（x）=，再利用输出值为3，即可求得输入值． 【解答】解：本题的伪代码表示一个分段函数f（x）= ∵输出值为3 ∴或 ∴x=4 ∴输入值x=4 故答案为：4 15. 数列的通项公式为，则等于_______. 参考答案： -200 16. 在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为____. 参考答案：     17. 等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，则 a12＋a22＋a32＋…+an2等于                  参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的离心率．直线x=t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C． （1）求椭圆E的方程； （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值． 参考答案： 考点：圆与圆锥曲线的综合． 专题：综合题． 分析：（1）由椭圆的离心率，知．由此能求出椭圆E的方程． （2）依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．由得．所以圆C的半径为．由圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，知，所以弦长，由此能求出ABC的面积的最大值． 解答： （1）解：∵椭圆的离心率， ∴． 解得a=2． ∴椭圆E的方程为． （2）解：依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）． 由得． ∴圆C的半径为． ∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t， ∴，即． ∴弦长． ∴△ABC的面积==． 当且仅当，即时，等号成立． ∴△ABC的面积的最大值为． 点评：本题考查椭圆的方程和三解开有的面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化． 19. 已知圆C的方程为：x2+y2﹣2mx﹣2y+4m﹣4=0，（m∈R）． （1）试求m的值，使圆C的面积最小； （2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程． 参考答案： 【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系． 【分析】（1）通过配方先将圆的一般方程化成标准方程，利用二次函数的最值，可得m的值． （2）根据（1）的结论确定圆的方程，然后设出直线方程，利用直线与圆相切的条件，建立关系，求得直线方程． 【解答】解：配方得圆的方程：（x﹣m）2+（y﹣1）2=（m﹣2）2+1 （1）当m=2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． （2）当m=2时，圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 设所求的直线方程为y+2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2=0 由直线与圆相切，得， 所以切线方程为，即4x﹣3y﹣10=0 又过点（1，﹣2）且与x轴垂直的直线x=1与圆也相切 所发所求的切线方程为x=1与4x﹣3y﹣10=0． 20. 成都外国语学校开设了甲，乙，丙三门选修课，学生对每门均可选或不选，且选哪门课程互不影响。已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用表示该学生选修课程的门数，用表示该学生选修课程门数和没有选修课程门数的乘积。 (1)记“函数为偶函数”为事件A,求事件A的概率； (2)求的分布列与数学期望. 参考答案： 略 21. （本题满分12分）已知公差不为零的等差数列的前4项和为10，且成等比数列.    （Ⅰ）求通项公式；    （Ⅱ）设,求数列的前项和. 参考答案： 22. 已知椭圆:的离心率为,且过点.直线交椭圆于,(不与点重合)两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 参考答案： (Ⅰ), ,,,    …………………4分 (Ⅱ)设 , ,由  …6分 ,           ………7分    ①      ②  …………8分 ,   ………9分 设为点到直线BD:的距离,   …………10分    当且仅当时等号成立  ……………11分 ∴当时,的面积最大,最大值为   ……………12分     略