广东省肇庆市莲都中学2023年高二数学文期末试题含解析

广东省肇庆市莲都中学2023年高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（    ） A． 3        B．       C. 2        D． 参考答案： C 圆心为，半径为，由于所截弦长为，故直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程得，即，的几何意义是原点到直线的距离的最小值的平方，故最小值为.所以选.   2. 已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（　　） 　 A．ρsinθ= B． ρsinθ=2 C． ρcosθ= D． ρcosθ=2 参考答案： A 略 3. 已知函数，则不等式的解集为（  ） A.   B.  C.    D. 参考答案： C 4. 如果的三个内角的余弦值分别等于三个内角的正弦值，则     A．和都是锐角三角形  B．和都是钝角三角形 C. 是锐角三角形，是钝角三角形 D．是钝角三角形，是锐角三角形 参考答案： C 略 5. 已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 参考答案： B 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0）， 则圆心为（0，a），半径R=a， 圆心到直线x+y=0的距离d=， ∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2， ∴2=2=2=2， 即=，即a2=4，a=2， 则圆心为M（0，2），半径R=2， 圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1， 则MN==， ∵R+r=3，R﹣r=1， ∴R﹣r＜MN＜R+r， 即两个圆相交． 故选：B 　 6. 数列……的前n项的和为(  ) A． B． C． D． 参考答案： B 7. 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　） A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 参考答案： D 【考点】圆的标准方程． 【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径r=， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故选：D． 8. 给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（　　） A．在直线y=﹣3x上 B．在直线y=3x上 C．在直线y=﹣4x上 D．在直线y=4x上 参考答案： B 【考点】63：导数的运算． 【分析】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决． 【解答】解：f'（x）=3+4cosx+sinx，f''（x）=﹣4sinx+cosx=0，4sinx0﹣cosx0=0， 所以f（x0）=3x0， 故M（x0，f（x0））在直线y=3x上． 故选：B． 【点评】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题． 9. 定义在R上的函数f（x），已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有，则下列结论正确的是（　　） A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】根据图象平移以及对称轴可以得出函数y=f（x）是偶函数，再根据单调性的定义得出f（x）在（﹣∞，0）上是单调减函数，由偶函数的性质得出f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，利用指数对数函数的单调性即可得出f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）． 【解答】解：∵y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象， ∴y=f（x+1）的对称轴x=﹣1向右平移1个单位可得y=f（x）的对称轴x=0， ∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数； 又对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有， 则f（x）在（﹣∞，0）上是单调减函数， 所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数； ∵0＜0.32＜1＜20.3＜2＜log25＜3 ∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）． 故选：A． 【点评】本题考查了图象平移以及偶函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数、对数函数的单调性问题，是综合性题目． 10. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），若P（1＜X＜5）=3P（X≥5），则P（X≤1）等于（　　） 　 A． 0.2 B． 0.25 C． 0.3 D． 0.4 参考答案： A 考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．  专题： 计算题；概率与统计． 分析： 随机变量X服从正态分布N（3，σ2），可得图象关于x=3对称，利用P（1＜X＜5）=3P（X≥5），P（1＜X＜5）+2P（X≥5）=1，即可得出结论． 解答： 解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2）， ∴图象关于x=3对称， ∵P（1＜X＜5）=3P（X≥5），P（1＜X＜5）+2P（X≥5）=1， ∴P（X≤1）=P（X≥5）=0.2， 故选：A． 点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设全集，集合，则=__________． 参考答案： 由题意得 12. 在复平面内，记复数对应的向量为，若向量绕坐标原点逆时针旋转 得到向量所对应的复数为___________________． 参考答案： 2i 13. 抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为                 参考答案： 略 14. 设函数f（x）=x3+（1+a）x2+ax有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式f（x1）+f（x2）≤0恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： ≤a≤2或a≤﹣1 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】把x1，x2代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x1）+f（x2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可． 【解答】解：因f（x1）+f（x2）≤0，故得不等式x13+x23+（1+a）（x12+x22）+a（x1+x2）≤0． 即（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+（1+a）[（x1+x2）2﹣2x1x2]+a（x1+x2）≤0． 由于f′（x）=3x2+2（1+a）x+a． 令f′（x）=0得方程3x2+2（1+a）x+a=0． △=4（a2﹣a+1）≥4a＞0，x1+x2=﹣（1+a），x1x2=， 代入前面不等式，并化简得（1+a）（2a2﹣5a+2）≥0． 解不等式得≤a≤2或a≤﹣1， 因此，实数a的取值范围是≤a≤2或a≤﹣1． 故答案为：≤a≤2或a≤﹣1． 【点评】本题考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力． 15. . 以，所连线段为直径的圆的方程是     ▲        参考答案： 16. 设复数z满足，则          ． 参考答案：   17. 若椭圆上一点P到右准线的距离为10，则P到左焦点的距离为          ； 参考答案： 12 w 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点. （1）证明：直线； （2）求点B到平面OCD的距离. 参考答案： 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 , (1)  设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得   (2)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,   由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足a2+c2﹣b2=ac． （1）求角B的大小； （2）设=（﹣3，﹣1），=（sinA，cos2A），求?的最小值． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）直接利用余弦定理，求出B的余弦函数值，即可求解B的大小； （2）?=﹣3sinA﹣cos2A，化简，利用配方法，即可求?的最小值． 【解答】解：（1）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，以及a2+c2=b2+ac， 可得cosB=． B是三角形内角，所以B=． （2）?=﹣3sinA﹣cos2A=2sin2A﹣3sinA﹣1=2（sinA﹣）2﹣， ∵0＜A＜，∴0＜sinA≤1． ∴当sinA=时，取得最小值为﹣． 20. （本小题满分12分）已知定点F(2,0)和定直线，动圆P过定点F与定直线相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程. （2）若以M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程 参考答案： （1）由题意知，P到F的距离等于P到的距离，所以P的轨迹C是以F为焦点，为准线的抛物线，它的方程为  （2）设 则         由AB为圆M的直径知， 故直线的斜率为 直线AB的方程为 即 22. (本小题满分12分) 数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足   ， （1） 求数列的前项和的最大值； （2） 求数列的前项和． 参考答案： （1）由题意：，∴， ∴数列是首项为3，公差为的等差数列， ∴，∴ 由，得，∴数列的前项和的最大值为……4分 （2）由（1）当时，，当时，， ∴当时， 当时， ∴………8分 22. 三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥侧面ABB1A1，底面△ABC是边长为2的等边三角形，侧面ABB1A1为菱形且ABAA1=60°，D为A1B1的中点． （Ⅰ）记平面BCD∩平面A1C1CA=l，在图中作出l，并说明画法（不用说明理由）； （Ⅱ）求直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】（Ⅰ）法一：延长BD与A1A交于F，连接CF交A1C1于点E，则直线CE（或CF）即为l． 法二：取A1C1中点E，连接ED，CE，则直线CE即为l． （Ⅱ）取AB的中点O，以O为原点，分别以OA，OA1，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：延长BD与A1A交于F，连接CF交A1C1于点E， 则直线CE（或CF）即为l．… 方法二：取A1C1中点E，连接ED，CE， 则直线CE即为l．… （Ⅱ）取AB的中点O，因为△ABC为等边三角形， 则CO⊥AB，CO?平面ABC，底面ABC⊥侧面ABB1A1且交线为AB， 所以CO⊥侧面ABB1