广东省河源市南岭中学2022-2023学年高一数学理月考试题含解析

广东省河源市南岭中学2022-2023学年高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 不等式的解集为（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集. 【详解】不等式可以因式分解为，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为，故选D.   2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（    ） A. B. C. D. 5 参考答案： C 【分析】 利用扇形的弧长为底面圆的周长求出后可求高. 【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为，则，所以， 所以圆锥的高为，选C 【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该扇形的圆心角的弧度数为 . 3. 函数和都是减函数的区间是（  ） A．          B． C.          D． 参考答案： A 4. 已知锐角△ABC外接圆的半径为2，，则△ABC周长的最大值为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 由正弦定理解得角C，再利用正弦定理得出a+b+c关于B的三角函数，从而得出周长的最大值． 【详解】∵锐角外接圆的半径为2，， ∴即， ∴，又为锐角， ∴， 由正弦定理得， ∴a＝4sinA，b＝4sinB，c＝ ∴a+b+c＝24sinB+4sin（B）＝6sinB+2cosB+24sin（B）+2， ∴当B即B时，a+b+c取得最大值46． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，正弦定理解三角形，属于中档题． 5. 函数的值域为 （    ） A．[-1,0]                 B．[ 0,8]                C．[-1,8]                D．[3,8] 参考答案： B 略 6. 下列函数在（0，+∞）上是增函数并且是定义域上的偶函数的是（　　） A． B． C．y=lnx D．y=x2+2x+1 参考答案： A 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】由指数函数和对数函数不具奇偶性，可判断B，C不正确；根据二次函数的图象和性质，分析出函数的对称轴，进而可判断D的真假，分析y=的单调性和奇偶性可得答案． 【解答】解：y=（）x与y=lnx不具有奇偶性，排除B，C； 又y=x2+2x+1对称轴为x=﹣1，不是偶函数，排除D； y=在（0，+∞）上是增函数且在定义域R上是偶函数， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答本题的关键． 7. 已知集合A=， B=，则＝（       ）    A.( 0 , 1 )   B.( 0 ,)      C.(, 1 )     D.  参考答案： B 8. 在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝（   ） A．  B．  C．   D． 参考答案： A 9. 函数与的图象（     ） 关于轴对称  关于轴对称 关于原点对称 关于直线对称 参考答案： B 10. 商丘一高某社团为了了解“早餐与健康的关系”，选取某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60．选取的这6名学生的编号可能是（　　） A．1，2，3，4，5，6 B．6，16，26，36，46，56 C．1，2，4，8，16，32 D．3，9，13，27，36，54 参考答案： B 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可． 【解答】解：根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为=10， ∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列， 故选：B． 【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出号码间隔是解决本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|fA（x）fB（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为　　． 参考答案： {1，6，10，12} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】新定义． 【分析】在理解题意的基础上，得到满足fA（x）fB（x）=﹣1的x∈{x|x∈A且x?B}∪{x|x∈B且x?A}，分别求出两个集合后取并集． 【解答】解：要使fA（x）fB（x）=﹣1， 必有x∈{x|x∈A且x?B}∪{x|x∈B且x?A} ={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}， 所以A△B={1，6，10，12}． 故答案为{1，6，10，12}． 【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题． 12. 已知集合有下列命题： ①若则； ②若则； ③若，则的图象关于原点对称； ④若，则对于任意不等的实数，总有成立. 其中所有正确命题的序号是               . 参考答案： ②③ 13. 已知⊙O的方程是，⊙O′的方程是，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是          ． 参考答案：      14. 已知△ABC中，，且，则△ABC面积的最大值为__________. 参考答案： 【分析】 先利用正弦定理求出c=2,分析得到当点在的垂直平分线上时，边上的高最大，的面积最大，利用余弦定理求出，最后求面积的最大值. 【详解】由可得，由正弦定理，得， 故， 当点在的垂直平分线上时，边上的高最大，的面积最大，此时. 由余弦定理知，，即， 故面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 15. 已知函数，若，则______. 参考答案： 【分析】 根据奇偶函数的定义可判断的奇偶性，利用，从而可求得的值 【详解】因为的定义域为， 所以，所以为奇函数， 所以，故答案为. 【点睛】本题考查了求函数的值以及函数奇偶性的性质，重点考查学生的分析问题与转化问题能力，属于基础题. 16. 化简_____________. 参考答案： 1 【分析】 直接利用诱导公式化简得解. 【详解】由题得. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 17. 计算=_______． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为线段BC的中点、 （I）求证院A1B∥平面ADC1 （II）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证:AD⊥DC1 参考答案： （I）详见解析（II）详见解析 试题分析：（1）连结，交于点O，连结OD，由已知条件得OD∥，由此能证明∥平面． （2）由已知得AD⊥BC，AD⊥平面，由此能证明AD⊥ 试题解析：（1）证明：连接交于点，连接 ∵斜三棱柱中，是平行四边形. 是的中点. 又∵是的中点， （3分） 又∵平面 平面(5分) 平面(6分) (2)∵中，为的中点. ∴(8分) 又∵平面平面，交线为 平面 面 (10分) ∵平面 (12分) 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； （3）若函数在的最大值为2，求实数的值. 参考答案： （1） . ? ∴. （2）. 由得， ∴的递增区间为 ∵在上是增函数， ∴当时，有. ∴解得 ∴的取值范围是. （3）. 令，则. ∴. ∵，由得， ∴. ①当，即时，在处. 由，解得（舍去). ②当，即时，，由 得解得或（舍去）. ③当，即时，在处，由得. 综上，或为所求. 20. （14分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数 （1）求k的值； （2）设g（x）=log4（a?2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值； （2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论． 解答： 解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数 ∴f（﹣x）=log4（4﹣x+1）﹣kx）=log4（）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立 ∴﹣（k+1）=k，则k=． （2）g（x）=log4（a?2x﹣a）， 函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即 方程f（x）=g（x）只有一个解 由已知得log4（4x+1）x=log4（a?2x﹣a），   ∴log4（）=log4（a?2x﹣a）， 方程等价于， 设2x=t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣﹣1=0有一解 若a﹣1＞0，设h（t）=（a﹣1）t2﹣﹣1， ∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解 ∴a＞1满足题意 若a﹣1=0，即a=1时，不满足题意 若a﹣1＜0，即a＜1时，由，得a=﹣3或a=， 当a=﹣3时，t=满足题意 当a=时，t=﹣2（舍去） 综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}． 点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强． 21. 若|sinθ| =，且<θ< 5π，  求： （1）tanθ的值；  （2）若直线的倾斜角为θ，并被圆（x-1）2+(y+1)2=5截得弦长为4，求这条直线的方程 参考答案： 略 22. 已知函数f（x）=sin2x+2x﹣2，x∈R，求： （1）函数f（x）的最小正周期和单调增区间； （2）函数f（x）在区间上的值域． 参考答案： 【考点】三角函数的周期性及其求法；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出周期及增区间即可； （2）由x的范围确定出2x+的范围，利用正弦函数的单调性确定出所求值域即可． 【解答】解：（1）f（x）=+sin2x+﹣2 =sin2x+cos2x=2sin（2x+）， ∴T==π， 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 则f（x）的最小正周期为π，f（x）的递增区间是，k∈Z； （2）由﹣≤x≤，得到﹣≤2x+≤， ∴﹣≤sin（2x+）≤1， 则f（x）在区间上的值域为．