广东省汕尾市甲西镇中学2023年高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知定点,为坐标原点,以为直径的圆C的方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
3. 如图,是半圆的直径,点在半圆上,于点,且,设,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 已知i为虚数单位,复数且,则实数a的值为
A.2 B. C.2或 D.或0
参考答案:
C
略
5. 设是复数,则下列命题中的假命题是()
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
参考答案:
D
试题分析:对(A),若,则,所以为真;
对(B)若,则和互为共轭复数,所以为真;
对(C)设,若,则,
,所以为真;
对(D)若,则为真,而,所以为假.
故选D.
考点:1.复数求模;2.命题的真假判断与应用.
6. 已知函数,如果函数f(x)在定义域为(0,?+∞)只有一个极值点,则实数k的取值范围是
A. (0,1] B. (-∞,1] C.(-∞,e] D. [e,+∞)
参考答案:
C
7. 若,则过点可作圆的两条切线的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知随机变量、 分别满足:,且,
,则等于( )
A. 0.321 B. 0.679 C. 0.821 D. 0.179
参考答案:
D
略
9. 函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
由函数有意义,得到,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,函数有意义,满足,解得,
即函数的定义域为,故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中根据函数的解析式有意义,列出相应的不等式组是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
10. 在中,三边成等差数列,,且的面积为,则的值是
A.1+ B. 2+ C. 3+ D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (x﹣3)dx= .
参考答案:
﹣4
【考点】定积分.
【分析】欲求函数x﹣3的定积分值,故先利用导数求出x﹣3的原函数,再结合定积分定理进行求解即可.
【解答】解:(x﹣3)dx=(x2﹣3x)=﹣4.
故答案为:﹣4.
12. 用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1到160编号,按编号顺序平均分成20段(1~8号,9~16号,…,153~160号).若第16段应抽出的号码为125,则第1段中用简单随机抽样确定的号码是 .
参考答案:
5
考点:系统抽样方法.
专题:概率与统计.
分析:由系统抽样的法则,可知第n组抽出个数的号码应为x+8(n﹣1),即可得出结论.
解答: 解:由题意,可知系统抽样的组数为20,间隔为8,设第一组抽出的号码为x,则由系统抽样的法则,可知第n组抽出个数的号码应为x+8(n﹣1),所以第16组应抽出的号码为x+8(16﹣1)=125,解得x=5.
故答案为:5.
点评:系统抽样形象地讲是等距抽样,系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况,系统抽样属于等可能抽样.
13. 在正三棱锥(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,,过作与分别交于和的截面,则截面的周长的最小值是________
参考答案:
解析:沿着将正三棱锥侧面展开,则共线,且
14. 已知某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是等腰直角三角形,正视图是直角三角形,俯视图是直角梯形,则此几何体的体积为
参考答案:
略
15. 某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:
气温(°C)
18
13
10
﹣1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程中b=﹣2,预测当气温为﹣4°C时,用电量的度数约为 .
参考答案:
68
考点:回归分析的初步应用.
专题:计算题.
分析:根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,利用待定系数法做出a的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的x的值,代入线性回归方程,预报要销售的件数.
解答: 解:由表格得
,
为:(10,40),
又 在回归方程 上且b=﹣2
∴40=10×(﹣2)+a,
解得:a=60,
∴y=﹣2x+60.
当x=﹣4时,y=﹣2×(﹣4)+60=68.
故答案为:68.
点评:本题考查线性回归方程,两个变量之间的关系,除了函数关系,还存在相关关系,通过建立回归直线方程,就可以根据其部分观测值,获得对这两个变量之间整体关系的了解.
16. 函数f(x)=﹣的最大值是 .
参考答案:
【考点】两点间距离公式的应用.
【分析】明确函数的几何意义,利用三点共线,可求函数的最大值.
【解答】解:f(x)=﹣=表示点P(x,x2)与A(3,2)的距离及B(0,1)的距离的差
∵点P(x,x2)的轨迹是抛物线y=x2,B在抛物线内,A在抛物线外
∴当P、B、A三点共线且B在AP之间时|PA|﹣|PB|最大,为|AB|(P、A、B不共线时三点可构成三角形,两边之差小于第三边)
∵|AB|=
∴函数f(x)=﹣的最大值是
故答案为.
17. 在直角坐标系x0y中,以0为原点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=1,M、N分别为C与x轴、y轴的交点.MN的中点为P,则直线OP的极坐标方程为 .
参考答案:
θ=,ρ∈(﹣∞,+∞)
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】本题先根据曲线C的方程求出曲线C与x轴、y轴的交点坐标,再用中点坐标公式求出中点P的坐标,得到直线OP的极坐标方程.
【解答】解:∵曲线C的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=1,
∴令θ=0,ρcos(﹣)=1,ρ=2,M点的极坐标为(2,0);
令θ=,ρcos(﹣)=1,ρ=,N点的极坐标为(,).
∵,
∴点M、N的直角坐标分别为(2,0),(0,).
∴MN的中点P的三角坐标为P(1,).
∴直线OP的斜率为,.
∴直线OP的极坐标方程为.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,,记函数在上的最大值为m,证明:.
参考答案:
(1)单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析.
【分析】
(1)利用导数求函数的单调性即可;
(2)对求导,得,因为,所以,令,求导得在上单调递增, ,使得,进而得在上单调递增,在上单调递减;所以,令 ,求导得在上单调递增,进而求得m的范围.
【详解】(1)因为,所以,当时,;当时,,
故的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)当时,,
则,
当时,,令,
则,所以在上单调递增,
因为,,
所以存在,使得,即,即.
故当时,,此时;
当时,,此时.
即在上单调递增,在上单调递减.
则 .
令,,则.
所以在上单调递增,所以,.
故成立.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围,也考查了构造新函数,转化思想,属于中档题.
19. (本小题10分)选修4—5:不等式选讲
已知定义在R上的函数的最小值为.
(I)求的值;
(II)若为正实数,且,求证:.
参考答案:
(I)因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.
(II)由(I)知,又因为是正数,
所以,
即.
20. 若S是公差不为0的等差数列的前n项和,且成等比数列。(1)求等比数列的公比; (2)若,求的通项公式;(3)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
参考答案:
解:∵数列{an}为等差数列,∴, ∵S1,S2,S4成等比数列, ∴ S1·S4 =S22 ∴ ,∴ ∵公差d不等于0,∴ (1) (2)∵S2 =4,∴,又,
∴, ∴。 (3)∵∴… 要使对所有n∈N*恒成立,∴,,∵m∈N*, ∴m的最小值为30。
21. 已知等差数列的前4项和为10,且成等比数列,求数列的通项公式.
参考答案:
略
22. 已知p:x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0(m∈R)无实根,求使p正确且q正确的m的取值范围.
参考答案:
解:若p为真,则解得m>2.
若q为真,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1
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