广东省汕尾市甲西镇中学2023年高二数学文期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
2. 已知定点，为坐标原点，以为直径的圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
3. 如图,是半圆的直径,点在半圆上,于点,且,设,则＝( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
4. 已知i为虚数单位，复数且，则实数a的值为
A.2 B. C.2或 D.或0
参考答案：
C
略
5. 设是复数，则下列命题中的假命题是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
参考答案：
D
试题分析：对（A），若，则，所以为真；
对（B）若，则和互为共轭复数，所以为真；
对（C）设，若，则，
，所以为真；
对（D）若，则为真，而，所以为假．
故选D．
考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．
6. 已知函数，如果函数f(x)在定义域为(0,?+∞)只有一个极值点，则实数k的取值范围是
A. (0,1] B. (－∞,1] C.(－∞,e] D. [e,+∞)
参考答案：
C
7. 若，则过点可作圆的两条切线的概率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
8. 已知随机变量、 分别满足：,且,
，则等于（ ）
A. 0.321 B. 0.679 C. 0.821 D. 0.179
参考答案：
D
略
9. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
由函数有意义，得到，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数有意义，满足，解得，
即函数的定义域为，故选D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10. 在中，三边成等差数列，，且的面积为，则的值是
A．1+ B. 2+ C. 3+ D.
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （x﹣3）dx= ．
参考答案：
﹣4
【考点】定积分．
【分析】欲求函数x﹣3的定积分值，故先利用导数求出x﹣3的原函数，再结合定积分定理进行求解即可．
【解答】解：（x﹣3）dx=（x2﹣3x）=﹣4．
故答案为：﹣4．
12. 用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1到160编号，按编号顺序平均分成20段（1～8号，9～16号，…，153～160号）．若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是 ．
参考答案：
5
考点：系统抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n﹣1），即可得出结论．
解答： 解：由题意，可知系统抽样的组数为20，间隔为8，设第一组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n﹣1），所以第16组应抽出的号码为x+8（16﹣1）=125，解得x=5．
故答案为：5．
点评：系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样．
13. 在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是________
参考答案：
解析：沿着将正三棱锥侧面展开，则共线，且
14. 已知某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是等腰直角三角形,正视图是直角三角形,俯视图是直角梯形,则此几何体的体积为
参考答案：
略
15. 某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温（°C）
18
13
10
﹣1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为 ．
参考答案：
68
考点：回归分析的初步应用．
专题：计算题．
分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．
解答： 解：由表格得
，
为：（10，40），
又 在回归方程 上且b=﹣2
∴40=10×（﹣2）+a，
解得：a=60，
∴y=﹣2x+60．
当x=﹣4时，y=﹣2×（﹣4）+60=68．
故答案为：68．
点评：本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．
16. 函数f（x）=﹣的最大值是 ．
参考答案：
【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】明确函数的几何意义，利用三点共线，可求函数的最大值．
【解答】解：f（x）=﹣=表示点P（x，x2）与A（3，2）的距离及B（0，1）的距离的差
∵点P（x，x2）的轨迹是抛物线y=x2，B在抛物线内，A在抛物线外
∴当P、B、A三点共线且B在AP之间时|PA|﹣|PB|最大，为|AB|（P、A、B不共线时三点可构成三角形，两边之差小于第三边）
∵|AB|=
∴函数f（x）=﹣的最大值是
故答案为．
17. 在直角坐标系x0y中，以0为原点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．MN的中点为P，则直线OP的极坐标方程为 ．
参考答案：
θ=，ρ∈（﹣∞，+∞）
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】本题先根据曲线C的方程求出曲线C与x轴、y轴的交点坐标，再用中点坐标公式求出中点P的坐标，得到直线OP的极坐标方程．
【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=1，
∴令θ=0，ρcos（﹣）=1，ρ=2，M点的极坐标为（2，0）；
令θ=，ρcos（﹣）=1，ρ=，N点的极坐标为（，）．
∵，
∴点M、N的直角坐标分别为（2，0），（0，）．
∴MN的中点P的三角坐标为P（1，）．
∴直线OP的斜率为，．
∴直线OP的极坐标方程为．
故答案为：．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，记函数在上的最大值为m，证明：.
参考答案：
（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.
【分析】
（1）利用导数求函数的单调性即可；
（2）对求导，得，因为，所以，令，求导得在上单调递增， ，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以，令 ，求导得在上单调递增，进而求得m的范围.
【详解】（1）因为，所以，当时，；当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）当时，，
则，
当时，，令，
则，所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，即，即.
故当时，，此时；
当时，，此时.
即在上单调递增，在上单调递减.
则 .
令，，则.
所以在上单调递增，所以，.
故成立.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.
19. （本小题10分）选修4—5：不等式选讲
已知定义在R上的函数的最小值为.
（I）求的值；
（II）若为正实数，且，求证：.
参考答案：
（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.
（II）由（I）知,又因为是正数,
所以,
即.
20. 若S是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。(1)求等比数列的公比； (2)若，求的通项公式；（3）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。
参考答案：
解：∵数列{an}为等差数列，∴， ∵S1，S2，S4成等比数列， ∴ S1·S4 =S22 ∴ ，∴ ∵公差d不等于0，∴ （1） （2）∵S2 =4，∴，又，
∴， ∴。 （3）∵∴… 要使对所有n∈N*恒成立，∴，，∵m∈N*， ∴m的最小值为30。
21. 已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，求数列的通项公式．
参考答案：
略
22. 已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p正确且q正确的m的取值范围．
参考答案：
解：若p为真，则解得m>2.
若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1
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