广东省湛江市洋青中学高三数学理联考试卷含解析

广东省湛江市洋青中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 组合数（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（   ）   A．    　 B．       C．         D． 参考答案： 【解析】由. 答案： 2. 对于函数，如果存在锐角使得的图像绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是 （A）    （B）    （C）     （D） 参考答案： 3. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是                         （　　） A．、             B．、              C．、             D．、   参考答案： A 略 4. 正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为 A．         B．或       C．      D．或 参考答案： B 【分析】 画出空间几何体，讨论球心的位置，结合球的性质求得棱锥的高，可求得棱锥的体积。 【详解】设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心 因为底面边长AB=3，所以 当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图 此时有 ，即 可解得h=3 因而棱柱的体积 当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图 有，即 可解得h=1 所以 综上，棱锥的体积为或 所以选B   5. 设，若，则 =（    ） A.                 B.1      C.              D. 参考答案： C 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数   (A)在区间上单调递增  (B)在区间上单调递减 (C)在区间上单调递增   (D)在区间上单调递减 参考答案： A 分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足：， 即， 令可得一个单调递增区间为：. 函数的单调递减区间满足：， 即， 令可得一个单调递减区间为：. 本题选择A选项.   7. 已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若?=﹣3，则λ的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2， ?=（+）?（﹣）=（+）?[（﹣）﹣] =（+）?[（λ﹣1）?﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）?﹣ =（1﹣λ）?4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=， 故选：A． 【点评】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，两个向量的数量积的运算，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题． 8. 若的若各项均不为零的数列满足，则的值等于（   ） A．4               B．8                   C．16                D．64 参考答案： C 略 9. 若函数y=f(x)图象上的任意一点p的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S的是(   ) (A). －1           (B). f(x)= lnx (C). f(x)=sinx            　　 (D). f(x)=tanx 参考答案： C 不等式表示的平面区域如图所示，函数具有性质，则函数图像必须完全分布在阴影区域①和②部分，分布在区域①和③内，分布在区域②和④内，图像分布在区域①和②内，在每个区域都有图像，故选. 10. 在双曲线：中，，分别为的左、右焦点，为双曲线上一点且满足，则（   ） A．108 B．112 C．116 D．120 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的最小值为　　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【专题】计算题；转化思想；综合法． 【分析】将x2+2xy+4y2=（x+2y）2﹣2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）2﹣4xy，利用基本等式的性质，即可求解． 【解答】解：由题意x2+2xy+4y2=（x+2y）2﹣2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6， ∵（x+2y）2≥4x?2y=8xy，当且仅当x=2y时取等号． 则：2xy+6≥8xy 解得：xy≤1 z=x2+4y2=（x+2y）2﹣4xy≥8xy﹣4yx=4． 所以z=x2+4y2的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本不等式的变形和灵活的运用能力．属于中档题． 12. 在直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），过原点O的直线l2与l1垂直，垂足为M，则|OM|的最大值为　　． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】分a=0或a≠0两种情况讨论，设y=，根据判别式求出y的范围，即可得到|OM|的最大值 【解答】解：直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），化为y=ax﹣a+2，则直线l1的斜率为a， 当a=0时，11：y=2， ∵过原点O的直线l2与l1垂直， ∴直线l2的方程为x=0， ∴M（0.2）， ∴|OM|=2， 当a≠0时， 则直线l2的斜率为﹣， 则直线l2的方程为y=﹣x， 由，解得x=，y=， ∴M（，）， 则|OM|==， 设y=，则（1﹣y）a2﹣4a+4﹣y=0， ∴△=16﹣4（1﹣y）（4﹣y）≥0， 解得0≤y≤5， ∴|OM|的最大值为， 综上所述：|OM|的最大值为， 故答案为： 【点评】本题考查了直线方程的垂直的关系和直线与直线的交点和函数的最值得问题，属于中档题 13. ．已知函数，则=      . 参考答案： 9 14. （5分）如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题： ①函数y=sinx具有“P（a）性质”； ②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1； ③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增； ④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|成立，则函数y=g（x）是周期函数． 其中正确的是　　（写出所有正确命题的编号）． 参考答案： ①③④ 【考点】： 函数的周期性；抽象函数及其应用． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： ①运用诱导公式证明sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）； ②根据奇函数，周期性定义得出f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=f（x）； ③根据解析式得出f（x+4）=f（﹣x），f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），f（x）为偶函数，根题意得出图象也关于点（﹣1，0）成中心对称， 且在（﹣2，﹣1）上单调递减，利用偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增； ④利用定义式对称f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），推论得出f（x）为偶函数，且周期为3； 解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）， ∴函数y=sinx具有“P（a）性质”； ∴①正确 ②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”， ∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x）， 周期为4， ∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=﹣f（1）=﹣1， ∴②不正确， ③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”， ∴f（x+4）=f（﹣x）， ∴f（x）关于x=2对称， 即f（2﹣x）=f（2+x）， ∵图象关于点（1，0）成中心对称， ∴f（2﹣x）=﹣f（x）， 即f（2+x）=﹣f（﹣x）， ∴得出：f（x）=f（﹣x）， f（x）为偶函数， ∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减， ∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减， 根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增； 故③正确． ④∵“P（0）性质”和“P（3）性质”， ∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x）， ∴f（x）为偶函数，且周期为3， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】： 本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证． 10.若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为        ． 参考答案： 2 16. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________． 参考答案： 17. 若表示圆，则的取值范围是         参考答案： 或 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=ex（ax2+x+1），且a＞0，求函数f（x）的单调区间及其极大值． 参考答案： 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间及其极大值． 解答： 解：∵f（x）=ex（ax2+x+1），∴f′（x）=aex（x+）（x+2）（3分） 当a=时，f′（x）≥0，f（x）在R上单增，此时无极大值；    （5分） 当0＜a＜时，f′（x）＞0，则x＞﹣2或x＜﹣，f′（x）＜0，则﹣＜x＜﹣2 ∴f（x）在（﹣∞，﹣）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣，﹣2）上单调递减．…（8分） 此时极大值为f（﹣）=     （9分） 当a＞时，f′（x）＞0，则x＜﹣2或x＞﹣，f′（x）＜0，则﹣2＜x＜﹣ ∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣）上单调递减．…（11分） 此时极大值为f（﹣2）=e﹣2（4a﹣1）（12分） 点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，属于中档题． 19. 设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆方程． （2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由椭圆的离心率和通径长及a2﹣b2=c2联立求出a，b的值，则椭圆方程可求； （2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出弦长，由点到直线距离公式求出原点O到直线l的距离，利用换元法借助于不等式求出面积取最大值时的直线的斜率，从而求出直线被椭圆所截得的弦长． 【解答】解：（1）由，