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广东省肇庆市江口中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元
参考答案:
B
略
2. 平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
参考答案:
A
略
3. 某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用,把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”,并计算出,则下列说法正确的
A.这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%
B.若某人未使用该疫苗,则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1
C.有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
D.有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
参考答案:
D
4. 若函数在[2,+∞)是增函数,则实数a的范围是( )
A.(-∞,4] B.(-4,4] C. (-∞,-4)∪[2, +∞) D.(-4,2)
参考答案:
A
略
5. 双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:由双曲线,可得双曲线的标准方程为,
所以,所以双曲线的焦距为,故选C.
考点:双曲线的标准方程及其性质.
6. 已知是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数,若,则必有
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱与底面边长都相等,A'在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB’与底面ABC所成角的正弦值等于 ( )
A . B. C. D.
参考答案:
C
8. 如图,EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地掷到圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”,则P(B|A)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于( )
A.B=45°或135° B.B=135°
C.B=45° D.以上答案都不对
参考答案:
C
【考点】正弦定理.
【分析】由A的度数求出sinA的值,再由a与b的值,利用正弦定理求出sinB的值,由b小于a,得到B小于A,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数.
【解答】解:∵A=60°,a=4,b=4,
∴由正弦定理=得:sinB===,
∵b<a,∴B<A,
则B=45°.
故选C
10. 有以下四个命题:①“所有相当小的正数”组成一个集合;②由1,2,3,1,9组成的集合用列举法表示{1,2,3,1,9};③{1,3,5,7}与{7,5,3,1}表示同一个集合;④{y=﹣x}表示函数y=﹣x图象上所有点的集合.其中正确的是( )
A.①③ B.①②③ C.③ D.③④
参考答案:
C
【考点】集合的相等;集合的表示法.
【专题】计算题.
【分析】在①中,不满足集合的确定性,故①不正确;在②中,不满足集合的互异性,故②不正确;在③中,满足集合相等的概念,故③正确;在④中不满足点集的概念,故④不正确.
【解答】解:在①中,因为不满足集合的确定性,故①不正确;
在②中,{1,2,3,1,9}不满足集合的互异性,故②不正确;
在③中,{1,3,5,7}与{7,5,3,1}表示同一个集合,故③正确;
在④中,{y=﹣x}不表示点集,故④不正确.
故选C.
【点评】本题考查集合的性质和集合相等及点集的概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线+=1(9<k<25)的焦距为 .
参考答案:
8
考点: 双曲线的简单性质.
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 确定曲线+=1(9<k<25)表示双曲线,且a2=25﹣k,b2=k﹣9,利用c2=a2+b2,可得曲线+=1(9<k<25)的焦距.
解答: 解:∵9<k<25
∴25﹣k>0,9﹣k<0,
∴曲线+=1(9<k<25)表示双曲线,且a2=25﹣k,b2=k﹣9,
∴c2=a2+b2=16,
∴c=4,
∴曲线+=1(9<k<25)的焦距为2c=8,
故答案为:8.
点评: 本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.
12. 某种植物的种子发芽率是0.7,则3颗种子中恰好有2颗发芽的概率是 .
参考答案:
0.441
考点:n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
专题:概率与统计.
分析:由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式,计算求的结果.
解答: 解:3颗种子中恰好有2颗发芽的概率是 ×0.72×0.3=0.441,
故答案为:0.441.
点评:本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式,属于基础题.
13. 在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则数列{an}的前9项和S9= .
参考答案:
36
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列的性质可得:a2+a8=a1+a9,再利用求和公式即可得出.
【解答】解:由等差数列的性质可得:a2+a8=8=a1+a9,
∴数列{an}的前9项和S9==9×4=36.
故答案为:36.
14. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)= _________ .
参考答案:
15. 已知某单位有40名职工,现要从中抽取5名职工,将全体职工随机按l~40编号,并按编号顺序平均分成5组,按系统抽样方法在各组内抽取一个号码.
(I)若第1组抽出的号码为2,则听有被抽出职工的号码为 ;
(Ⅱ)分别统计这5名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如图所示,则该样本的方差为 .
参考答案:
(1)2,10,18,26,34;(2)62
【考点】茎叶图;系统抽样方法;极差、方差与标准差.
【分析】(I)我们根据组内抽按编取的编号依次增加5进行系统抽样,第1组抽出的号码为2,由起始编号l的值,然后根据系统抽样的抽取方法不难写出所有被抽出职工的号码;
(II)该茎叶图的茎为十位数,叶为个位数,由此不难列出5们职工的体重,然后代入方差公式,即可计算方差.
【解答】解:(Ⅰ)由题意,第1组抽出的号码为2.
因为2+8×1=10,所以第2组抽出的号码应该为10,
同样,抽出的5名职工的号码分别为2,10,18,26,34
(Ⅱ)因为5名职工的平均体重为 =(59+62+70+73+81)=69.
所以样本方差为:S2==62.
故答案为:62.
16. 随机变量的分布列如下:
其中成等差数列,若,则的值是 ▲ .
参考答案:
17. 过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为 。
参考答案:
解析:可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)在△ABC中,
(1)求A、B的值;
(2)求的值。
参考答案:
略
19. 设直线3x+y+=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OPOQ,求的值.
参考答案:
解:由3x+y+m=0得: y=-3x-m 代入圆方程得:
设P、Q两点坐标为P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则x1 +x2= x1×x2=
∵OP⊥OQ ∴ 即x1×x2+ y1 ×y2=0∴ x1×x2+(-3x1-m) (-3x2-m) =0
整理得:10x1×x2+3 m (x1 +x2)+ m2=0 ∴
解得:m=0或m= 又△=(6m+7)2-40(m2+2m)= -4m2+4m+49
当m=0时,△>0;当m=时,△>0;∴m=0或m=
20. (本小题满分9分)已知在直角坐标系xOy中,直线的参数方程:(为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线 的极坐标方程:。(Ⅰ)将直线的参数方程化为普通方程,曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;:(Ⅱ)判断直线和曲线的位置关系
参考答案:
(1) 直线为y=2x+1 曲线C为 4分
(2) C圆心(1,0) 半径1 则圆心到直线距离d=>1 则相离 5分
21. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值.
参考答案:
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)解法1 先由AD⊥PA.AD⊥AB,证出AD⊥平面PAB得出AD⊥PB.又N是PB的中点,PA=AB,得出AN⊥PB.证出PB⊥平面ADMN后,即可证出PB⊥DM.
解法2:如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz,设BC=1,通过证明证出PB⊥DM
(Ⅱ)解法1:取AD中点Q,连接BQ和NQ,则BQ∥DC,又PB⊥平面ADMN,所以CD与平面ADMN所成的角为∠BQN.在Rt△BQN中求解即可.
解法2,通过 PB⊥平面ADMN,可知是平面ADMN 的一个法向量,的余角即是CD与平面ADMN所成的角.
【解答】(本题满分13分)
解:(Ⅰ)解法1:∵N是PB的中点,PA=AB,∴AN⊥PB.
∵PA⊥平面ABCD,所以AD⊥PA.
又AD⊥AB,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,AD⊥PB.
又AD∩AN=A,∴PB⊥平面ADMN.
∵DM?平面ADMN,∴PB⊥DM. …
解法2:如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz,设BC=1,
可得,A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,1,0),,D(0,2,0).
因为,所以PB⊥DM. …
(Ⅱ)解法1:取AD中点Q,连接BQ和NQ,则BQ∥DC,又PB⊥平面ADMN,∴CD与平面ADMN所成的角为∠BQN.
设BC=1,在Rt△BQN中,则,,故.
所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为.
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