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福建省福州市市第三十八中学2023年高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将函数y=sin(2x+)(x∈R)的图象上所有点向右平移个单位(纵坐标不变),则所得到的图象的解析式是 ( )
A.y=-cos2x B.y=cos2x C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x-)
参考答案:
A
2. 已知、是夹角为的两个单位向量,则与的夹角的正弦值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:,,,,又,所以,故选择A.
考点:平面向量的运算及夹角.
3. 已知f(x)=ax5+bx3+cx﹣8,且f(﹣2)=4,那么f(2)=( )
A.﹣20 B.10 C.﹣4 D.18
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【分析】由已知得f(﹣2)=﹣32a﹣8b﹣2c﹣8=4,从而32a+8b+2c=﹣12,由此能求出f(2).
【解答】解:∵f(x)=ax5+bx3+cx﹣8,且f(﹣2)=4,
∴f(﹣2)=﹣32a﹣8b﹣2c﹣8=4,
解得32a+8b+2c=﹣12,
∴f(2)=32a+8b+2c﹣8=﹣12﹣8=﹣20.
故选:A.
4. 下列集合不是{1,2,3}的真子集的是( )
A.{1} B.{2,3} C.? D.{1,2,3}
参考答案:
D
【考点】子集与真子集.
【专题】计算题;规律型;集合思想;集合.
【分析】直接利用集合的子集关系,判断选项即可.
【解答】解:因为{1,2,3}={1,2,3},所以{1,2,3}不是{1,2,3}的真子集.
故选:D.
【点评】本题考查集合的基本关系的判断,是基础题.
5. 设等差数列的前项和为,若,则等于( )
A.36 B.24 C.18 D.12
参考答案:
D
6. 已知函数的图象是连续不间断的,对应值表如下:
1
2
3
4
5
6
12.04
13.89
-7.67
10.89
-34.76
-44.67
则函数存在零点的区间有( )
(A)区间[1,2]和[2,3] (B)区间[2,3]和[3,4]
(C)区间[2,3]和[3,4]和[4,5] (D)区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
参考答案:
C
7. 已知点是单位正方体中异于点的一个顶点,则的值为( )
(A) 0 (B) 1 (C) 0或1 (D) 任意实数
参考答案:
C
8. 甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射箭9次,三人测试成绩的条形图如下所示:
则下列关于这三名运动员射击情况的描述正确的是( )
A.丙的平均水平最高 B.甲的射击成绩最稳定
C.甲、乙、丙的平均水平相同 D.丙的射击成绩最不稳定
参考答案:
C
由直方图得:
甲:4,4,4,5,5,5,6,6,6,均值为5,方差为;
乙:3,3,4,4,5,6,6,7,7,均值为5,方差为;
丙:4,4,5,5,5,5,5,6,6,均值为5,方程为;
所以甲、乙、丙三人平均水平相同,丙最稳定。故选C。
9. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A. B.y=e﹣x C.y=lg|x| D.y=﹣x2+1
参考答案:
D
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.
【解答】解:A中,y=为奇函数,故排除A;
B中,y=e﹣x为非奇非偶函数,故排除B;
C中,y=lg|x|为偶函数,在x∈(0,1)时,单调递减,在x∈(1,+∞)时,单调递增,
所以y=lg|x|在(0,+∞)上不单调,故排除C;
D中,y=﹣x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,
故选D.
10. 若,且,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A 解析:
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设若函数在上单调递增,则的取值范围是________.
参考答案:
(0 ,1.5]
略
12. 已知幂函数f(x)=xa的图象过点,则loga8= .
参考答案:
3
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】由题意可得 =,解得a的值,可得 loga8 的值.
【解答】解:∵已知幂函数f(x)=xa的图象过点,
∴=,解得a=2,
∴loga8=log28=3,
故答案为:3.
13. 已知函数,下列结论中:
①函数f(x)关于对称;
②函数f(x)关于对称;
③函数f(x)在是增函数,
④将的图象向右平移可得到f(x)的图象.
其中正确的结论序号为______ .
参考答案:
【分析】
把化成的型式即可。
【详解】由题意得
所以对称轴为,
对,当时,对称中心为,对。
的增区间为,对
向右平移得。错
【点睛】本题考查三角函数的性质,三角函数变换,意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。
14. 已知当实数,满足时,恒成立,给出以下命题:
①点所形成的平面区域的面积等于3.
②的最大值等于2.
③以,为坐标的点所形成的平面区域的面积等于4.5.
④的最大值等于2,最小值等于-1.
其中,所有正确命题的序号是__________.
参考答案:
见解析
①,
,①错;
②当,时,
取最大,②对;
③恒成立,
当且仅当,
③,③对;
④时,最大,
时,最小,④对.
综上②③④.
15. 记为偶函数,是正整数,,对任意实数,满足中的元素不超过两个,且存在实数使中含有两个元素,则的值是 .
参考答案:
4、5、6
由题意得.
∵为偶函数,是正整数,
∴,
∵对任意实数,满足中的元素不超过两个,且存在实数使中含有两个元素,
∴中任意相邻的两个元素的间隔必小于1,任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1.
∴,解得,
又,
∴.
16. 的值是_________.
参考答案:
略
17. 定义某种新运算:S=ab的运算原理如图所示,则54-36= .
参考答案:
1
由题意知54=5×(4+1)=25,36=6×(3+1)=24,所以54-36=1.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知集合A={x|a﹣1<x<2a+1},B={x|0<x<1}
(1)若a=,求A∩B.
(2)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合关系中的参数取值问题;交集及其运算.
【专题】计算题;分类讨论.
【分析】(1)当a=时,A={x|},可求A∩B
(2)若A∩B=?,则A=?时,A≠?时,有,解不等式可求a的范围
【解答】解:(1)当a=时,A={x|},B={x|0<x<1}
∴A∩B={x|0<x<1}
(2)若A∩B=?
当A=?时,有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠?时,有
∴﹣2<a≤或a≥2
综上可得,或a≥2
【点评】本题主要考查了集合交集的求解,解题时要注意由A∩B=?时,要考虑集合A=?的情况,体现了分类讨论思想的应用.
19. 设函数=,其中 且
⑴ 当时,求函数的单调递增区间;
⑵ 若函数在区间上的最大值与最小值之差为,求实数的值.
参考答案:
解: 由,解得.
当时, .
令.
, ∴所以对称轴为,
∴在区间[-1,1)上是减函数,
又 是减函数, 所以函数的单调递增区间是[-1,1).
(2) , 且 ∴.
①当时, , 解得;
②当时, , 解得.
略
20. 已知函数的最小正周期是,最小值是-2,且图象经过点,求这个函数的解析式.
参考答案:
..............3分
由题意知,∴..........6分
∵图象经过点,∴,即
又,∴.............10分
故函数的解析式为...............12分
21. (16分)已知函数f(x)=2x.
(1)解方程f(log4x)=3;
(2)已知不等式f(x+1)≤f[(2x+a)2](a>0)对x∈[0,15]恒成立,求实数a的取值范围;
(3)存在x∈(﹣∞,0],使|af(x)﹣f(2x)|>1成立,试求a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【分析】(1)依题意,f(log4x)=3?=3,即==3,从而可解得x=9;
(2)利用指数函数y=2x的单调性可得:f(x+1)≤f[(2x+a)2]?x+1≤(2x+a)2,依题意,整理可得a≥(﹣2x+)max,x∈[0,15].利用换元法可解得a的取值范围;
(3)令2x=t,则存在t∈(0,1)使得|t2﹣at|>1,即存在t∈(0,1)使得t2﹣at>1或t2﹣at<﹣1,分离参数a,即存在t∈(0,1)使得a<(t﹣)max或a>(t+)min,解之即可;
【解答】解:(1)∵f(x)=2x,
∴f(log4x)=3?===3,解得:x=9,
即方程f(log4x)=3的解为:x=9;
(2)∵f(x)=2x,为R上的增函数,
∴由f(x+1)≤f[(2x+a)2](a>0)对x∈[0,15]恒成立,
得x+1≤(2x+a)2(a>0)对x∈[0,15]恒成立,
因为a>0,且x∈[0,15],所以问题即为≤2x+a恒成立
∴a≥(﹣2x+)max,x∈[0,15].
设m(x)=﹣2x+,令=t(1≤t≤4),则x=t2﹣1,t∈[1,4],
∴m(t)=﹣2(t2﹣1)+t=﹣2(t﹣)2+,
所以,当t=1时,m(x)max=1,
∴a≥1.
(3)令2x=t,∵x∈(﹣∞,0],
∴t∈(0,1),
∴存在x∈(﹣∞,0],使|af(x)﹣f(2x)|>1成立?存在t∈(0,1)使得|t2﹣at|>1,
所以存在t∈(0,1)使得t2﹣at>1或t2﹣at<﹣1,
即存在t∈(0,1)使得a<(t﹣)max或a>(t+)min,
∴a≤0或a≥2;
【点评】本题考查函数恒成立问题,突出考查指数函数的单调性,闭区间上的最值的求法,考查函数方程思想、等价转化思想、考查换元法、构造法、配方法的综合运用,属于难题.
22. △ABC的内角A、B、C的对边为a、b、c,
(1)求A;
(2)若求b、c.
参考答案:
(1); (2).
【分析】
(1)由题目中告诉的,利用正弦定理则可得到,再结合余弦定理公式求出角的值。
(2)根据第一问求得的的值和题目中告诉的角的值可求得角的值,再利用正弦定理可求得边和的值。
【详解】(1)由正弦定理,得,
由余弦定理,得,又
所以。
(2) 由(1)知:,又
所以,又,
根据正弦定理,得,
,
所以
【点睛】本题考查利用正余弦定理求解边与角。
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