福建省福州市市第三十八中学2023年高一数学文期末试题含解析

福建省福州市市第三十八中学2023年高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 将函数y=sin(2x+)(x∈R)的图象上所有点向右平移个单位(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式是 (     ) A．y=－cos2x    B．y=cos2x    C．y=sin(2x+)     D．y=sin(2x－) 参考答案： A 2. 已知、是夹角为的两个单位向量，则与的夹角的正弦值是（    ） A.               B.           C.         D. 参考答案： A 试题分析：，，，，又，所以，故选择A. 考点：平面向量的运算及夹角. 3. 已知f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，且f（﹣2）=4，那么f（2）=（　　） A．﹣20 B．10 C．﹣4 D．18 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】由已知得f（﹣2）=﹣32a﹣8b﹣2c﹣8=4，从而32a+8b+2c=﹣12，由此能求出f（2）． 【解答】解：∵f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，且f（﹣2）=4， ∴f（﹣2）=﹣32a﹣8b﹣2c﹣8=4， 解得32a+8b+2c=﹣12， ∴f（2）=32a+8b+2c﹣8=﹣12﹣8=﹣20． 故选：A． 4. 下列集合不是{1，2，3}的真子集的是(     ) A．{1} B．{2，3} C．? D．{1，2，3} 参考答案： D 【考点】子集与真子集． 【专题】计算题；规律型；集合思想；集合． 【分析】直接利用集合的子集关系，判断选项即可． 【解答】解：因为{1，2，3}={1，2，3}，所以{1，2，3}不是{1，2，3}的真子集． 故选：D． 【点评】本题考查集合的基本关系的判断，是基础题． 5. 设等差数列的前项和为，若，则等于（     ）          A．36          B．24        C．18             D．12 参考答案： D 6. 已知函数的图象是连续不间断的，对应值表如下： 1 2 3 4 5 6 12.04 13.89 －7.67 10.89 －34.76 －44.67 则函数存在零点的区间有(　 　) （A）区间[1,2]和[2,3]           （B）区间[2,3]和[3,4] （C）区间[2,3]和[3,4]和[4,5]     （D）区间[3,4]和[4,5]和[5,6] 参考答案： C 7. 已知点是单位正方体中异于点的一个顶点，则的值为（    ）   (A) 0                       (B) 1                     (C) 0或1              (D) 任意实数 参考答案： C 8. 甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射箭9次，三人测试成绩的条形图如下所示：     则下列关于这三名运动员射击情况的描述正确的是（   ） A.丙的平均水平最高 B.甲的射击成绩最稳定 C.甲、乙、丙的平均水平相同 D.丙的射击成绩最不稳定 参考答案： C 由直方图得： 甲：4,4,4,5,5,5,6,6,6，均值为5，方差为； 乙：3,3,4,4,5,6,6,7,7，均值为5，方差为； 丙：4,4,5,5,5,5,5,6,6，均值为5，方程为； 所以甲、乙、丙三人平均水平相同，丙最稳定。故选C。   9. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　） A． B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1 参考答案： D 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可． 【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A； B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B； C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增， 所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C； D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减， 故选D． 10. 若，且，则(    ) A．     B．    C．   D． 参考答案： A    解析： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设若函数在上单调递增，则的取值范围是________. 参考答案： （0 ，1.5] 略 12. 已知幂函数f（x）=xa的图象过点，则loga8=　　． 参考答案： 3 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】由题意可得 =，解得a的值，可得 loga8 的值． 【解答】解：∵已知幂函数f（x）=xa的图象过点， ∴=，解得a=2， ∴loga8=log28=3， 故答案为：3． 13. 已知函数，下列结论中： ①函数f(x)关于对称； ②函数f(x)关于对称； ③函数f(x)在是增函数， ④将的图象向右平移可得到f(x)的图象． 其中正确的结论序号为______ ． 参考答案： 【分析】 把化成的型式即可。 【详解】由题意得 所以对称轴为， 对，当时，对称中心为，对。 的增区间为，对 向右平移得。错 【点睛】本题考查三角函数的性质，三角函数变换，意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。 14. 已知当实数，满足时，恒成立，给出以下命题： ①点所形成的平面区域的面积等于3． ②的最大值等于2． ③以，为坐标的点所形成的平面区域的面积等于4.5． ④的最大值等于2，最小值等于－1． 其中，所有正确命题的序号是__________． 参考答案： 见解析 ①， ，①错； ②当，时， 取最大，②对； ③恒成立， 当且仅当， ③，③对； ④时，最大， 时，最小，④对． 综上②③④． 15. 记为偶函数，是正整数，，对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，则的值是          ． 参考答案： 4、5、6 由题意得． ∵为偶函数，是正整数， ∴， ∵对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素， ∴中任意相邻的两个元素的间隔必小于1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1． ∴，解得， 又， ∴．   16. 的值是_________. 参考答案： 略 17. 定义某种新运算：S＝ab的运算原理如图所示，则54－36＝       ．   参考答案： 1 由题意知54＝5×(4＋1)＝25，36＝6×(3＋1)＝24，所以54－36＝1． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1} （1）若a=，求A∩B． （2）若A∩B=?，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算． 【专题】计算题；分类讨论． 【分析】（1）当a=时，A={x|}，可求A∩B （2）若A∩B=?，则A=?时，A≠?时，有，解不等式可求a的范围 【解答】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1} ∴A∩B={x|0＜x＜1} （2）若A∩B=? 当A=?时，有a﹣1≥2a+1 ∴a≤﹣2 当A≠?时，有 ∴﹣2＜a≤或a≥2 综上可得，或a≥2 【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=?时，要考虑集合A=?的情况，体现了分类讨论思想的应用． 19. 设函数=，其中 且 ⑴ 当时，求函数的单调递增区间； ⑵ 若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求实数的值. 参考答案： 解: 由，解得.   当时, . 令. ， ∴所以对称轴为， ∴在区间[-1,1)上是减函数, 又 是减函数,  所以函数的单调递增区间是[-1,1). (2) , 且 ∴.        ①当时, , 解得;           ②当时, , 解得. 略 20. 已知函数的最小正周期是，最小值是－2，且图象经过点，求这个函数的解析式． 参考答案： ..............3分 由题意知，∴..........6分 ∵图象经过点,∴,即 又，∴.............10分 故函数的解析式为...............12分 21. （16分）已知函数f（x）=2x． （1）解方程f（log4x）=3； （2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，求实数a的取值范围； （3）存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【分析】（1）依题意，f（log4x）=3?=3，即==3，从而可解得x=9； （2）利用指数函数y=2x的单调性可得：f（x+1）≤f[（2x+a）2]?x+1≤（2x+a）2，依题意，整理可得a≥（﹣2x+）max，x∈[0，15]．利用换元法可解得a的取值范围； （3）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，即存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，分离参数a，即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣）max或a＞（t+）min，解之即可； 【解答】解：（1）∵f（x）=2x， ∴f（log4x）=3?===3，解得：x=9， 即方程f（log4x）=3的解为：x=9； （2）∵f（x）=2x，为R上的增函数， ∴由f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立， 得x+1≤（2x+a）2（a＞0）对x∈[0，15]恒成立， 因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为≤2x+a恒成立 ∴a≥（﹣2x+）max，x∈[0，15]． 设m（x）=﹣2x+，令=t（1≤t≤4），则x=t2﹣1，t∈[1，4]， ∴m（t）=﹣2（t2﹣1）+t=﹣2（t﹣）2+， 所以，当t=1时，m（x）max=1， ∴a≥1． （3）令2x=t，∵x∈（﹣∞，0]， ∴t∈（0，1）， ∴存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立?存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1， 所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1， 即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣）max或a＞（t+）min， ∴a≤0或a≥2； 【点评】本题考查函数恒成立问题，突出考查指数函数的单调性，闭区间上的最值的求法，考查函数方程思想、等价转化思想、考查换元法、构造法、配方法的综合运用，属于难题． 22. △ABC的内角A、B、C的对边为a、b、c， （1）求A； （2）若求b、c． 参考答案： （1）； （2）. 【分析】 （1）由题目中告诉的，利用正弦定理则可得到，再结合余弦定理公式求出角的值。 （2）根据第一问求得的的值和题目中告诉的角的值可求得角的值，再利用正弦定理可求得边和的值。 【详解】(1)由正弦定理，得， 由余弦定理，得，又 所以。 (2)    由（1）知：,又 所以，又， 根据正弦定理，得， ， 所以 【点睛】本题考查利用正余弦定理求解边与角。