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湖南省郴州市龙潭中学2022-2023学年高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数为奇函数,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 设函数,若方程恰好有三个根,分别为,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 已知z=(i为虚数单位),则复数z=( )
A.﹣1 B.l C.i D.﹣i
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:z==.
故选:C.
4. 若为虚数单位,且,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
本题考查复数乘法的计算,难度较低。由得,所以a=1,b=-1,选择C。
5. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
先比较的大小,再比较的大小,进而可得答案.
【详解】由题得,
∴.
又,
由于,
如图在坐标系中画出函数和函数的图象,
可得在区间(2,4)内函数的图象总在函数图象的上方,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,因此,
∴.
故选C.
【点睛】本题考查实数大小的比较和考查函数的图象及性质,考查学生对知识的理解掌握水平和分析推理能力,解题的关键是通过函数的单调性和结合函数的图象解决问题,属于中档题.
6. 任意的实数k,直线与圆的位置关系一定是
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
参考答案:
C
直线恒过定点,定点到圆心的距离,即定点在圆内部,所以直线与圆相交但直线不过圆心,选C.
7. 如图,F是抛物线的焦点,A是抛物线E上
任意一点.现给出下列四个结论:
①以线段AF为直径的圆必与y轴相切;
②当点A为坐标原点时,|AF|为最短;
③若点B是抛物线E上异于点A的一点,则当直线AB(AB2P)过焦点F时,
|AF|+|BF|取得最小值;
④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点,若|AF|、|BF|、|CF|成
等差数列,则点A、B、C的横坐标亦成等差数列.
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
D
8. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
求出双曲线的渐进线方程,可得到值,再由的关系和离心率公式,即可得到答案.
【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为,
则,
所以该条渐近线方程为;
所以,
解得;
所以 ,
所以双曲线的离心率为.
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质,考查离心率的求法,考查学生基本的运算能力,属于基础题,
9. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm)。可得这个几何体的体积是( ) w.w.w.k.
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知,函数是其反函数,则函数的大致图象是 ( )
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 四面体中,共顶点的三条棱两两相互垂直,且其长别分为1、、3,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的体积为_________________.
参考答案:
略
12. 设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值范围为_____________
参考答案:
13. 不等式的解集为____________.
参考答案:
14. +log3+log3= .
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题;规律型;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可.
【解答】解:+log3+log3=+log35﹣log34+log34﹣log35
=.
故答案为:.
【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用,考查计算能力.
15. 已知抛物线的准线方程为x=﹣2,则抛物线的标准方程为 .
参考答案:
y2=8x
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】设抛物线方程为y2=2px(p>0),根据题意建立关于p的方程,解之可得p=4,得到抛物线方程.
【解答】解:由题意,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),准线方程是x=﹣,
∵抛物线的准线方程为x=﹣2,
∴=2,解得p=4,
故所求抛物线的标准方程为y2=8x.
故答案为:y2=8x.
【点评】本题给出抛物线的准线,求抛物线的标准方程,着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识,属于基础题.
16. 设是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是___________.
参考答案:
略
17. 若曲线存在斜率为1的切线,则实数的取值范围是________。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
(1)若左右手各取一球,问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少?
(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为X,求X的分布列和数学期望.
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列.
【专题】计算题.
【分析】(1)设事件A为“两手所取的球不同色”,由此能求出P(A)=1﹣.
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,左手所取的两球颜色相同的概率为=,右手所取的两球颜色相同的概率为=.分别求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),由此能求出X的分布列和EX.
【解答】解:(1)设事件A为“两手所取的球不同色”,
则P(A)=1﹣.
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,
左手所取的两球颜色相同的概率为=,
右手所取的两球颜色相同的概率为=.
P(X=0)=(1﹣)(1﹣)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==.
∴X的分布列为:
X
0
1
2
P
EX=0×+1×+2×=.
【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考题型.解题时要认真审题,仔细解答,注意概率知识的灵活运用.
19. 已知椭圆的离心率是,O为坐标原点,点A,B分别为椭圆C的左、右视点,P为椭圆C上异于A,B的一点,直线AP,BP的斜率分别是。
(1)求证:为定值;
(2)设直线l交椭圆C于M,N两点,,,且的面积是,求椭圆C的标准方程。
参考答案:
(1) .(2) .
【分析】
(1) 设,,根据点在椭圆上得到结果;(2)设直线的方程为,, ,即,,联立直线和椭圆,再由韦达定理得到结果.
【详解】(1)由题意得,,即,
则椭圆可化为,设,则,
∴;
(2)由题意知,不垂直于轴,设直线的方程为,
联立,得,
,
设,则,
∵,∴,即,
∴,∴,
即得,,
∵,
点到直线的距离,
∴,
解得,则,∴椭圆的标准方程是.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
20. (本小题满分12分)已知函数
(1)求f(x)的最大值;
(2)设△ABC中,角A、B的对边分别为a、b,若B=2A,且?,
求角C的大小.
参考答案:
解:(1) ……ks5u…………2分
.(注:也可以化为) …4分
所以的最大值为. …………………………………………………………6分
(注:没有化简或化简过程不全正确,但结论正确,给4分)
(2)因为,由(1)和正弦定理,得.………………7分
又,所以,即, ………………9分
而是三角形的内角,所以,故,, ………………11分
所以,,. ……………………………………12分
略
21. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB+acosB=.
(1)求A的大小
(2)若c=3b,求tanC的值.
参考答案:
考点:余弦定理;正弦定理.
专题:计算题;三角函数的求值;解三角形.
分析:(1)运用正弦定理和诱导公式以及两角和的正弦公式,结合同角的基本关系式,化简整理,即可得到A;
(2)运用三角形的内角和定理和正弦定理,结合同角的商数关系,化简整理,即可得到所求值.
解答: 解:(1)由正弦定理可得,
sinAsinB+sinAcosB=sinC,
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
即有sinAsinB=cosAsinB,
即tanA==,
0<A<π,则A=;
(2)由A=,则B+C=,
由正弦定理,可得c=3b,即为
sinC=3sinB,
即sinC=3sin(﹣C)=3(cosC+sinC),
即有﹣sinC=3cosC,
则tanC==﹣3.
点评:本题考查正弦定理的运用,同时考查三角函数的化简和求值,运用两角和差的正弦公式和诱导公式是解题的关键.
22. 已知函数。
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当,且,求函数的单调区间。
参考答案:
略
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