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广东省梅州市丰顺华侨中学2023年高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数的虚部为( )
A. i B. -i C. 1 D. -1
参考答案:
C
【分析】
先化简复数,即得复数的虚部.
【详解】由题得.
所以复数的虚部为1.
故选:C
【点睛】本题主要考查复数的运算和虚部的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
2. 在3和9之间插入两个正数,使前3个数成等比数列,后3个数成等差数列,则这两个正数之和为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 点在圆 上移动时,它与定点连线的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
4. 已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且则的最小值是( *** )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 双曲线的左右焦点分别是,点在其右支上,且满足,,则的值是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 用数学归纳法证明不等式时的过程中,由到时,不等式的左边 ( )
A.增加了一项 B.增加了两项
C.增加了两项,又减少了一项
D.增加了一项,又减少了一项
参考答案:
C
略
7. 已知数列则是它的( )
A.第22项 B.第23项 C.第24项 D.第28项
参考答案:
B
8. 设全集,集合,则=( ).
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
9. 已知n∈N,常数p,q均大于1,且都不等于2,则=( )
(A)或 (B)–或– (C)或或 (D)–或–或
参考答案:
C
10. 在空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2). 画该四面体三视图中的正视图时,以xOz平面为投影面,则得到正视图可以为
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等差数列的前n项和,若,则等于______
参考答案:
108
略
12. 已知随机变量服从正态分布,,则( )
参考答案:
略
13. 双曲线的渐近线方程是_▲_.
参考答案:
14. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽8米。当水面升高1米后,水面宽度是________米.
参考答案:
略
15. 若x、y满足条件,z = x+3y的最大值为
参考答案:
11
16. 不等式的解集为 .
参考答案:
略
17. 已知点M的坐标为(5,θ),且tan θ=﹣,<θ<π,则点M的直角坐标为 .
参考答案:
(﹣3,4)
【考点】G9:任意角的三角函数的定义.
【分析】根据三角函数的定义即可求出
【解答】解:∵tan θ=﹣,<θ<π,
∴cosθ=﹣,sinθ=,
∴x=5cosθ=﹣3,y=5sinθ=4,
∴点M的直角坐标为(﹣3,4),
故答案为:(﹣3,4)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=,x∈[1,+∞),
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义.
【分析】(1)a=时,函数为,f在[1,+∞)上为增函数,故可求得函数f(x)的最小值
(2)问题等价于f(x)=x2+2x+a>0,在[1,+∞)上恒成立,利用分类参数法,通过求函数的最值,从而可确定a的取值范围
【解答】解:(1)因为,f(x)在[1,+∞)上为增函数,
所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=.…
(2)问题等价于f(x)=x2+2x+a>0,在[1,+∞)上恒成立.
即a>﹣(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立.
令g(x)=﹣(x+1)2+1,则g(x)在[1,+∞)上递减,当x=1时,g(x)max=﹣3,所以a>﹣3,
即实数a的取值范围是(﹣3,+∞).…
【点评】本题以函数为载体,考查对勾函数门课程二次函数的最值,考查恒成立问题的处理,注意解题策略.
19. 如图所示,在四棱锥A﹣BCDE中,AB⊥平面BCDE,四边形BCDE为矩形,F、G分别为AC、AE的中点,AB=BC=2,BE=.
(Ⅰ)证明:EF⊥BD;
(Ⅱ)求点A到平面BFG的距离.
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】(Ⅰ)取BC的中点M,连接MF,ME,证明BD⊥平面MEF,即可证明EF⊥BD;
(Ⅱ)利用VA﹣BFG=VG﹣ABF,求点A到平面BFG的距离.
【解答】(Ⅰ)证明:取BC的中点M,连接MF,ME,
∵AB⊥平面BCDE,MF∥AB,
∴MF⊥平面BCDE,又BD?平面BCDE,∴MF⊥BD.
在Rt△MBE与Rt△BED中,∵ ==,∴Rt△MBE∽Rt△BED.
∴∠BME=∠EBD,而∠BME+∠BEM=90°,于是∠BEM+∠EBD=90°,
∴ME⊥BD,
又∵MF∩ME=M,∴BD⊥平面MEF,
又∵EF?平面MEF,∴EF⊥BD.…
(Ⅱ)解:∵AB⊥平面BCDE,BE?平面BCDE,∴AB⊥BE,
∵四边形BCDE为矩形,∴BE⊥BC,
又∵AB∩BC=B,
∴BE⊥平面ABC,
∵G为AE的中点,
∴G到平面ABF的距离为BE=,
S△ABF=×2×1=1,
在△BFG中,FG=CE=,BG=AE=,BF=AC=,
∴S△BFG=,
设A到平面BFG的距离为d,
∵VA﹣BFG=VG﹣ABF,
∴?S△BFG?d=?S△ABF?,
∴d=1,即A到平面BFG的距离为1.…(12分)
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查等体积方法的运用,属于中档题.
20. 已知⊙C:x2+(y-3) 2=4,一动直线l过A(-1,0)与⊙C相交于P、Q两点,M是PQ的中点,弦PQ长为2时,求直线l方程
参考答案:
解:①当直线l与x轴垂直时,易知x=-1,符合题意 ……3分
②当直线l与x轴不垂直时,设方程kx-y+K=0
因为PQ=2 所以CM==1则由CM=得K= ……10分
即直线方程:4x-3y+4=0
故符合题意直线L方程:4x-3y+4=0或 x=0 ……12分
21. 下面程序框图输出的S表示什么?虚线框表示什么结构?
参考答案:
求半径为5的圆的面积的算法的程序框图,虚线框是一个顺序结构.
22. (本小题满分12分)在数列中,,(c是常数,),且、、成公比不为1的等比数列.
(1)求的值.
(2)设,求数列的前项和.
参考答案:
c=0或 c=2 --------4分
成公比不为1的等比数列.
c=2 --------6分
(2) --------8分
--------10分
= --------12分
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