广东省梅州市丰顺华侨中学2023年高二数学理联考试题含解析

广东省梅州市丰顺华侨中学2023年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数的虚部为（    ） A. i B. －i C. 1 D. －1 参考答案： C 【分析】 先化简复数，即得复数的虚部. 【详解】由题得. 所以复数的虚部为1. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2. 在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为（    ） A．           B．            C．           D． 参考答案： A 3. 点在圆 上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（   ） A．      B． C．    D． 参考答案： C 4. 已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且则的最小值是（ *** ） A．             B．             C．            D． 参考答案： B 5. 双曲线的左右焦点分别是,点在其右支上,且满足,,则的值是                       （　　） A． B．    C．      D． 参考答案： C 略 6. 用数学归纳法证明不等式时的过程中，由到时，不等式的左边 （　　） A．增加了一项        B．增加了两项 C．增加了两项，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 参考答案： C 略 7. 已知数列则是它的(　　) A．第22项     B．第23项      C．第24项    D．第28项 参考答案： B 8. 设全集，集合，则=（   ）． （A）    （B）     （C）     （D） 参考答案： A 略 9. 已知n∈N，常数p，q均大于1，且都不等于2，则=（    ） （A）或  （B）–或–  （C）或或  （D）–或–或 参考答案： C 10. 在空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）. 画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等差数列的前n项和，若，则等于______ 参考答案： 108 略 12. 已知随机变量服从正态分布，，则（   ） 参考答案： 略 13. 双曲线的渐近线方程是_▲_． 参考答案： 14. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米. 参考答案：    略 15. 若x、y满足条件，z = x+3y的最大值为 参考答案： 11 16. 不等式的解集为               . 参考答案： 略 17. 已知点M的坐标为（5，θ），且tan θ=﹣，＜θ＜π，则点M的直角坐标为　　． 参考答案： （﹣3，4） 【考点】G9：任意角的三角函数的定义． 【分析】根据三角函数的定义即可求出 【解答】解：∵tan θ=﹣，＜θ＜π， ∴cosθ=﹣，sinθ=， ∴x=5cosθ=﹣3，y=5sinθ=4， ∴点M的直角坐标为（﹣3，4）， 故答案为：（﹣3，4） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）， （1）当a=时，求函数f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义． 【分析】（1）a=时，函数为，f在[1，+∞）上为增函数，故可求得函数f（x）的最小值 （2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围 【解答】解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数， 所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=．… （2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立． 即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立． 令g（x）=﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3， 即实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．… 【点评】本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略． 19. 如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F、G分别为AC、AE的中点，AB=BC=2，BE=． （Ⅰ）证明：EF⊥BD； （Ⅱ）求点A到平面BFG的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】（Ⅰ）取BC的中点M，连接MF，ME，证明BD⊥平面MEF，即可证明EF⊥BD； （Ⅱ）利用VA﹣BFG=VG﹣ABF，求点A到平面BFG的距离． 【解答】（Ⅰ）证明：取BC的中点M，连接MF，ME， ∵AB⊥平面BCDE，MF∥AB， ∴MF⊥平面BCDE，又BD?平面BCDE，∴MF⊥BD． 在Rt△MBE与Rt△BED中，∵ ==，∴Rt△MBE∽Rt△BED． ∴∠BME=∠EBD，而∠BME+∠BEM=90°，于是∠BEM+∠EBD=90°， ∴ME⊥BD， 又∵MF∩ME=M，∴BD⊥平面MEF， 又∵EF?平面MEF，∴EF⊥BD．… （Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCDE，BE?平面BCDE，∴AB⊥BE， ∵四边形BCDE为矩形，∴BE⊥BC， 又∵AB∩BC=B， ∴BE⊥平面ABC， ∵G为AE的中点， ∴G到平面ABF的距离为BE=， S△ABF=×2×1=1， 在△BFG中，FG=CE=，BG=AE=，BF=AC=， ∴S△BFG=， 设A到平面BFG的距离为d， ∵VA﹣BFG=VG﹣ABF， ∴?S△BFG?d=?S△ABF?， ∴d=1，即A到平面BFG的距离为1．…（12分） 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积方法的运用，属于中档题． 20. 已知⊙C：x2+(y－3) 2＝4,一动直线l过A(-1,0)与⊙C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，弦PQ长为2时，求直线l方程 参考答案： 解：①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1，符合题意　　　……3分 ②当直线l与x轴不垂直时，设方程kx－y+K=0 因为PQ＝2　所以CM=＝1则由CM＝得K＝　……10分 即直线方程：4x-3y+4=0 故符合题意直线L方程：4x-3y+4＝0或 x＝0　　　　　　　　……12分 21.  下面程序框图输出的S表示什么？虚线框表示什么结构？ 参考答案： 求半径为5的圆的面积的算法的程序框图，虚线框是一个顺序结构. 22. （本小题满分12分）在数列中，，（c是常数，）,且、、成公比不为1的等比数列. （1）求的值.   （2）设，求数列的前项和. 参考答案： c=0或 c=2        --------4分 成公比不为1的等比数列. c=2            --------6分 (2)    --------8分   --------10分 =  --------12分