广东省汕头市金湖中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

广东省汕头市金湖中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　） A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3 C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k 参考答案： B 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，从而求出实数k的取值范围． 【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根， 而f′（x）=3x2﹣12的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2， 故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2． ∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1， ∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1， 故选 B． 【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根． 2. 若a＞1，则在同一坐标系中，函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=logax的图象可能是(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 考点：函数的图象． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据a＞1，把函数等价变形：y=a﹣x=为指数函数且为减函数，再利用y=logax为对数函数，即可得到答案． 解答： 解：当a＞1时，y=a﹣x=为指数函数且为减函数，y=logax为对数函数且为增函数，只有C符合，其它均不符合， 故选：C． 点评：本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数（对数）函数单调性的关系是解答本题的关键． 3. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 考点： 抛物线的应用．  专题： 计算题；压轴题． 分析： 先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径． 解答： 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4）， 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：， 故选C． 点评： 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想． 4. 设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的（   ） A. 充分不必要条件                       B. 必要不成分条件          C. 充要条件                            D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 5. 已知函数，若，则实数的取值范围是 A． 或            B．   C． 或 D． 参考答案： D 略 6. 如果(    )． A． B．6 C． D．8 参考答案： B 7. 如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（   ） A．105，103                          B．115，125 C. 125，113.3                           D．115，113.3 参考答案： D 8. 已知△ABC的面积为，AC=2，，则＝（    ） A．        B．         C．         D． 参考答案： A 9. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是（　　） A．29 000元 B．31 000元 C．38 000元 D．45 000元 参考答案： C 【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划． 【分析】分别设出甲乙两种肥料的车皮数，根据两种原料必须同时够用列出不等式组，得到线性约束条件，列出利润与甲乙两种肥料车皮数的函数，利用线性规划知识求得利润的最大值． 【解答】解：设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． 由题意，得． 工厂的总利润z=12000x+7000y 由约束条件得可行域如图， 由，解得：， 所以最优解为A（2，2）， 则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时， z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润． 故选：C． 【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了线性规划知识，解答的关键是确定最优解，是中档题． 10. 已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（　　） A．2 B．2 C．4 D．2 参考答案： C 【考点】基本不等式． 【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x?8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1． ∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号． 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，正六边形的边长为，则   ▲   ． 参考答案： 略 12. 已知数列{an}中，设a1=1，an+1=3an+1（n∈N*），若bn= ?an，Tn是{bn}的前n项和，若不等式2nλ＜2n﹣1Tn+n对一切的n∈N+恒成立，则实数λ的取值范围是　  ． 参考答案： （﹣∞，1） 【考点】数列的求和． 【分析】可设an+1+t=3（an+t），化简由条件可得t，运用等比数列的通项公式可得an，bn，再由数列的求和方法：错位相减法，可得Tn，由题意可得不等式2nλ＜2n+1﹣2对一切的n∈N+恒成立．即为λ＜2﹣（）n﹣1对一切的n∈N+恒成立．判断不等式右边数列的单调性，求得最小值，即可得到所求范围． 【解答】解：数列{an}中，设a1=1，an+1=3an+1（n∈N*）， 可设an+1+t=3（an+t），即为an+1=3an+2t， 即有2t=1，即t=． 则an+1+=3（an+）， 则an+=（a1+）?3n﹣1， 可得an=（3n﹣1）， 则bn=?an=?（3n﹣1）=n?（）n﹣1， Tn=1?（）0+2?（）+3?（）2+…+n?（）n﹣1， Tn=1?（）1+2?（）2+3?（）3+…+n?（）n， 两式相减可得Tn=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣n?（）n =﹣n?（）n， 化简可得Tn=4﹣（2n+4）?（）n， 不等式2nλ＜2n﹣1Tn+n对一切的n∈N+恒成立， 即有不等式2nλ＜2n+1﹣2对一切的n∈N+恒成立． 即为λ＜2﹣（）n﹣1对一切的n∈N+恒成立． 由2﹣（）n﹣1在n∈N+递增，可得n=1时，取得最小值1， 则λ＜1． 故答案为：（﹣∞，1）． 　 13. 如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O 于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP=_______． 参考答案： 略 14. 已知，则             。 参考答案： 24 15. 已知a=(x,1),=(1,2),=(-1,5) ,若(a+2),则      . 参考答案： 本题考查平面向量的线性运算.由题意得a+2,而(a+2),所以,解得,即a=(-3,1),所以. 【备注】，等价于. 16. 已知若f(x)＝2，则x＝________. 参考答案： －1或 17. 数列中，，则    . 参考答案： 答案:   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。    （1）点在线段上，，试确定的值，使平面；    （2）在（1）的条件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小。 参考答案： 解： （1）当时，平面 下面证明：若平面，连交于 由可得，， ．．．．．．．．．２分 平面，平面， 平面平面， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分    即：   ．．．６分 （2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。．７分     又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD， 四边形ABCD为菱形，  ∵AD=AB，  ∠BAD=60°△ABD为正三角形，  Q为AD中点， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分     以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为 A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）     设平面MQB的法向量为，可得     ， 取z=1，解得．．．．．．．．．．．１０分     取平面ABCD的法向量设所求二面角为， 则    故二面角的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．１２分 略 19. 已知数列{an}的前n项和为，且，. （1）若数列{an}是等差数列，且，求实数a的值； （2）若数列{an}满足，且，求证：数列{an}是等差数列； （3）设数列{an}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{an}具有如下性质M：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合. 参考答案： （1）3；（2）证明见解析；（3） 【分析】 （1）首先根据，，求出，再计算即可. （2）首先由得到，由且，得到数列{an}的通项公式，即可证明数列{an}是等差数列. （3）有题意得：，然后对分类讨论，可知当，，时，数列{an}不具有性质.当时，对任意，，都有，即当时，数列{an}具有性质. 【详解】（1）设等差数列{an}的公差为，由，，得， 解得，则， 所以. （2）因为， 所以， 解得， 因为，，， 当为奇数时，. 当为偶数时，. 所以对任意，都有. 当时，，即数列{an}是等差数列. （3）解：由题意，{an}是等比数列，. ①当时，， 所以对任意，都有， 因此数列{an}不具有性质. ②当时，，. 所以对任意，都有， 因此数列{an}不具有性质. ③当时，. ， . 取（表示不小于的最小整数）， 则，. 所以对于任意，. 即对于任意，都不在区间内， 所以数列{an}不具有性质. ④当时，，且， 即对任意，，都有， 所以当时，数列{an}具有性质M. 综上，使得数列{an}具有性质M的正实数的集合为. 【点睛】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查等差数列的证明，第三问考查等差和等比数列的综合应用，属于难题. 20. （本