广东省惠州市秋长中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设实数x，y满足约束条件，若对于任意b∈[0，1]，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，4） B．（，+∞） C．（2，+∞） D．（4，+∞）
参考答案：
D
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识以及分类讨论进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
b=0时，ax＞0，∴a＞0；
b≠0时，y＜x﹣1．
a＜0时，不成立；
a＞0时，B（1，3）在y=x﹣1的下方即可，
即3＜﹣1，解得a＞4b，
∵0＜b≤1，
∴a＞4．
综上所述，a＞4．
故选：D．
2. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出
A. B. C. D.
参考答案：
B
3. 已知点为△所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在△的内部，则的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
D
4. 已知，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. c
0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
参考答案：
(1，＋∞)
略
12. 若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a= ．
参考答案：
3
【考点】基本不等式．
【分析】将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．
【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4
当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．
∵x=a处取最小值，
∴a=3
故答案为：3
13. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .
参考答案：
1/3
略
14.
右面的流程图可以计算的值，则在判断框中可以填写的表达式为 .
参考答案：
答案：I＞199,I＞200, I≥200,I≥201 等
15. 已知实数，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为
参考答案：
16. 已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m= ．
参考答案：
2
【分析】根据夹角相等列出方程解出m．
【解答】解： =（m+4，2m+2）. =m+4+2（2m+2）=5m+8， =4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．
||=，||==2，
∵与的夹角等于与的夹角，
∴=，∴=，解得m=2．
故答案为：2．
17. 已知，若，则sin（α﹣β）的值为 ．
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
已知椭圆右顶点到右焦点的距离为，短轴长为．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为，求直线AB的方程．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意，
解得．
即：椭圆方程为
（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，
不符合题意故舍掉；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，
代入消去得： ．
设 ，则
所以 ，由，
所以直线或．
19. （本小题满分14分）
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。
参考答案：
（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为
得：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为
（2）（i）设抽取的6所学校中小学为，中学为，大学为；
抽取2所学校的结果为：，
共种；
（ii）抽取的2所学校均为小学的结果为：共种
抽取的2所学校均为小学的概率为
20. 在数列中,已知.
(Ⅰ)求证:是等比数列;
(Ⅱ)令为数列的前项和,求的表达式.
参考答案：
解：(Ⅰ)证明:由
可得
所以数列以是-2为首项,以2为公比的等比数列
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:,所以,
所以
令,则,
两式相减得,
所以,即
略
21. 在数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）若存在n∈N*，使得an≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．
参考答案：
【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．
【专题】计算题．
【分析】（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式想减可得=，求得 a2=1，累乘化简可得数列{an}的通项an ．
（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，
可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．
【解答】解：（1）当n≥2时，由a1=1 及 ①可得
②．
两式想减可得 nan =﹣，化简可得=，∴a2=1．
∴??…==×××…×==．
综上可得，．…
（2），由（1）可知当n≥2时，，
设，…
则，
∴，
故当n≥2时，{}是递增数列．
又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…
【点评】本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，数列与不等式综合，数列的函数特性的应用，属于难题．
22. 已知椭圆与y轴正半轴交于点，离心率为．直线经过点和点．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，当时，求的取值范围．
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）根据椭圆的性质可得其标准方程；（2）由P，Q两点可得直线l的方程，与椭圆方程联立消去x得到关于y的方程，且，由可得，通过已知将其化为只含有和t的等式，再根据t的范围可得的范围。
【详解】解析：1．由题意，且，所以，
所以椭圆E的标准方程为．
2．因为直线l经过点和点，所以直线l的斜率为，设，将其代入椭圆方程中，
消去得，
当时，设、，
则……①，……②
因为，所以，所以……③
联立①②③，消去、，整理得．
当时，，解
由且，
故，所以．
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，用了设而不求的思想，还涉及了简单的数列的知识。
