福建省漳州市北苑私立中学2023年高三数学理测试题含解析

福建省漳州市北苑私立中学2023年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数在一个周期内的图像如图所示，其中P，Q分别是这段图像的最高点和最低点，M，N是图像与x轴的交点，且，则A的值为（   ） A．2         B．1        C.       D． 参考答案： C 2. 已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为（　　） A．4cm B．12cm C．2cm D．13cm 参考答案： C 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题． 【分析】将三棱柱展开，不难发现最短距离是3个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转1次的最短路径． 【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，在展开图中，最短距离是3个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值． 由已知求得矩形的长等于3×2=6，宽等于4，由勾股定理d==2 故选：C． 【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法． 3. 已知x，y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则 的取值范围是(     ) A．R B．（0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[4，+∞） 参考答案： D 【考点】等差数列的性质． 【分析】先利用条件得到a1+a2=x+y和b1b2=xy，再对所求都转化为用x，y表示后，在用基本不等式可得结论． 【解答】解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y， 由等比数列的性质知b1b2=xy， ∴===2+≥2+=4． 当且仅当x=y时取等号． 故选：D． 【点评】本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想，是中档题． 4. 函数y=ecosx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性，然后利用复合函数的单调性判断即可． 【解答】解：函数f（x）=ecosx（x∈[﹣π，π]） ∴f（﹣x）=ecos（﹣x）=ecosx=f（x），函数是偶函数，排除B、D选项． 令t=cosx，则t=cosx当0≤x≤π时递减，而y=et单调递增， 由复合函数的单调性知函数y=ecosx在（0，π）递减，所以C选项符合， 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力． 5. 已知函数的最小值周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 A .向左平移个单位长度      B. 向右平移个单位长度  C. 向左平移个单位长度     D.向右平移个单位长度 参考答案： A 略 6. 在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（      ） A．(0,2)                            B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)           D．(－1,2) 参考答案： B 7. 阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（　　） A．a=12，i=3 B．a=12，i=4 C．a=8，i=3 D．a=8，i=4 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】由程序框图依次计算第一、第二、第三次运行的结果，直到满足条件满足a被6整除，结束运行，输出此时a、i的值． 【解答】解：由程序框图得： 第一次运行i=1，a=4； 第二次运行i=2，a=8； 第三次运行i=3，a=12；满足a被6整除，结束运行，输出a=12，i=3． 故选A． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂程序框图． 　 8. 若实数x，y满足条件则z＝x＋3y的最大值为(      ) A．9  B．11  C．12  D．16 参考答案： B 略 9. 已知幂函数f（x）=xn，n∈{﹣2，﹣1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是（　　） A．f（﹣2）＞f（1） B．f（﹣2）＜f（1） C．f（2）=f（1） D．f（﹣2）＞f（﹣1） 参考答案： B 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】求出幂函数的解析式，根据函数的单调性判断函数值的大小即可． 【解答】解：幂函数f（x）=xn，n∈{﹣2，﹣1，1，3}的图象关于y轴对称， 则n=﹣2，则f（x）=，f（﹣2）=f（x）， 而f（x）在0，+∞）递减， ∴f（﹣2）=f（2）＜f（1）， 故选：B． 10. 函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（     ） A． ，     B． ， C． ， D． ，   参考答案： 答案：D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知 AB是圆的一条弦，点P为AB上一点，,PC交圆于点C，若,,则PC的长为 . 参考答案： 12. 已知恒成立，则实数m的取值范围是_______. 参考答案： -4＜m＜2 略 13. 在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若+=，则的最大值为　　． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理． 【分析】由+=可得， +=，通分化简，根据正弦定理及余弦定理在化简，利用基本不等式的性质求解． 【解答】解：由+=可得， +=， 即=， ∴=，即=， ∴sin2C=sinAsinBcosC． 根据正弦定理及余弦定理可得，c2=ab?，整理得a2+b2=3c2， ∴=≤=，当且仅当a=b时等号成立． 故答案为． 14. 设、、依次是的角、、所对的边，若，且，则_____________. 参考答案： 15. 若正数a，b满足，则的最小值为　  　． 参考答案： 2 【考点】基本不等式． 【分析】由条件可得则=， =，代入所求式子，再由基本不等式，即可得到最小值，注意等号成立的条件 【解答】解：正数a，b满足， 则=1﹣=，或=1﹣= 则=， 由正数a，b满足，则=1﹣=， 则=， =+≥2=2，当且仅当a=b=3时取等号， 故的最小值为2， 故答案为：2 　 16. 在中， ,则AB+2BC的最大值为______________. 参考答案： 略 17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点. 若，则      ． 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲： 如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求的长． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵, ∴∽,∴……………………2分 又∵,∴, ∴, ∴∽，  ∴，   ∴…………4分 又∵，∴．……………………5分 （Ⅱ）∵,    ∴ ，∵   ∴ 由（1）可知：，解得.……………………7分 ∴． ∵是⊙的切线，∴ ∴，解得．……………………10分 19. （本题满分16分） 已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)   （1）设，求证：当时，；   （2）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实        数a的值；如果不存在，请说明理由。 参考答案： （Ⅰ）设，则，所以 又因为是定义在上的奇函数，所以  故函数的解析式为       …………………3分 证明：当且时，，设 因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以   又因为，所以当时，，此时单调递减，所以 所以当时，即       ……………………6分 （Ⅱ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则 （ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是３ （ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３ （ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数． 所以，解得（舍去） （ⅳ）当时，则 当时，，此时函数是减函数； 当时，，此时函数是增函数． 所以，解得 综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３   …………16分   20. 已知函数f（x）=x﹣，g（x）=x2﹣2ax+4，若任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质． 【分析】若任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），即存在x∈[1，2]，使得g（x）=x2﹣2ax+4≤﹣1，即x2﹣2ax+5≤0，解得实数a的取值范围． 【解答】（本小题满分12分） 解：由于f′（x）=1+＞0，因此函数f（x）在[0，1]上单调递增， 所以x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=﹣1． 根据题意可知存在x∈[1，2]， 使得g（x）=x2﹣2ax+4≤﹣1，即x2﹣2ax+5≤0，即a≥+能成立， 令h（x）=+，则要使a≥h（x）在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h（x）min， 又函数h（x）=+在x∈[1，2]上单调递减， 所以h（x）min=h（2）=，故只需a≥． 21. 已知函数f（x）=ax+1nx（a∈R），g（x）=ex． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：当a=0时，g（x）＞f（x）+2． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出f（x）的定义域是（0，+∞），导函数，通过10当a≥0时；20当a＜0时，求解函数的单调区间． （2）求出函数的定义域，化简令F（X）=ex﹣lnx，求出导函数，通过二次求导，求出函数的最值，判断导数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的最值即可． 【解答】（本小题满分12分） 解（1）f（x）的定义域是（0，+∞），10当a≥0时，f'（x）＞0，所以在（0，+∞）单调递增；20当a＜0时，由f'（x）=0，解得． 则当时． f'（x）＞0，所以f（x）单调递增．当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减． 综上所述：当a≥0时，f（x）增区间是（0，+∞）； 当a＜0时，f（x）增区间是，减区间是．                 … （2）f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞）， 令F（X）=ex﹣lnx，，，所以F'（x）单调递增 因为， 所以存在唯一使得，∴ 且当x∈（0，x0）时F'（x）＜0，F（x）递减； 当x∈（x0，+∞）时F'（x）＞0，F（x）当递增； 所以 故g（x）＞f（x）+2．                                             … 22. 某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：   一次购物款（单位：元） [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) 顾客人数 20 a 30 20 b   统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4000名顾客，为了增加商场销售额