山西省长治市壶关县树掌中学高三数学理联考试题含解析

山西省长治市壶关县树掌中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（） A． B． C．3 D．8 参考答案： A ∵为等差数列，且成等比数列，设公差为. 则，即 又∵，代入上式可得 又∵，则 ∴，故选A.   2. 设等比数列的前 项和为,若  则 =（   ） A. 2       B.        C.         D.3   参考答案： B 【知识点】等比数列的性质 解析：,, 故选B. 【思路点拨】根据等比数列的性质得到成等比列出关系式，又表示出S3，代入到列出的关系式中即可求出的值．   3. 已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为 A. B． C．    D． 参考答案： D 4. 已知f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则ω的取值范围是（　　） A．[，]∪[，] B．（，]∪[，] C．[，]∪[，] D．（，]∪[，] 参考答案： C 【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【分析】由题意可得， =≥3π﹣2π=π，求得＜ω≤1，故排除A、D．检验当ω=时，f（x）=sin（x﹣）满足条件，故排除B，从而得出结论． 【解答】解：f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣）（ω＞，x∈R）， 若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π）， 则=≥3π﹣2π=π，ω≤1，即＜ω≤1，故排除A、D． 当ω=时，f（x）=sin（x﹣）， 令x﹣=kπ+，求得 x=kπ+，可得函数f（x）的图象的对称轴为  x=kπ+，k∈Z． 当k=1时，对称轴为 x=＜2π，当k=2时，对称轴为 x==3π， 满足条件：任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），故排除B， 故选：C． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题． 5. 已知复数z满足，则其共轭复数=（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： B ，∴ . 故选：B 6. 已知向量，，，则向量在向量方向上的投影是（    ） A．          B．          C．         D． 参考答案： A 略 7. 的展开式中的系数是                            （A）        （B）         （C）        （D） 参考答案： D 略 8. 已知是虚数单位，则=     A．         B．             C．               D． 参考答案： A 略 9. 已知函数（n>2且）设是函数的零点的最大值,则下述论断一定错误的是 A.            B. C.             D._ 参考答案： D 略 10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为(  ) A. 3 B. C. D. 2 参考答案： A 由三视图可得几何体的直观图如图所示： 有：面ABC，△ABC中，，边上的高为2， 所以. 该三棱锥最长的棱的棱长为. 故选A. 点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列满足，，，则               ． 参考答案： 【知识点】数列递推式．D1   解析：∵数列{an}满足a1=2，?n∈N*，an+1=， ∴=﹣1， =， =2， … ∴数列{an}是以3为周期的周期数列， 又2015=671×3+2， ∴a2015=a2=﹣1． 故答案为：﹣1． 【思路点拨】由已知条件根据递推公式，利用递推思想依次求出数列的前4项，从而得到数列{an}是以3为周期的周期数列，又2015=671×3+2，由此能求出a2015． 12. 已知,,则的值是___　　_____. 参考答案： 略 13. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是             名. 参考答案： 10 14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N+），若数列{bn}满足，则数列{bn}的前2n+3项和T2n+3=　　． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和． 【分析】Sn=2an﹣2（n∈N+），可得n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=2an﹣1．n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．利用等比数列的通项公式可得：an=2n．数列{bn}满足，可得bn+bn+1=．则数列{bn}的前2n+3项和T2n+3=b1+（b2+b3）+…+（b2n+2+b2n+3），利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵Sn=2an﹣2（n∈N+），∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an=2an﹣1． n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2． ∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为2． ∴an=2n． 数列{bn}满足，∴bn+bn+1=． 则数列{bn}的前2n+3项和T2n+3=b1+（b2+b3）+…+（b2n+2+b2n+3） =1+++…+ ==． 故答案为：． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15. 已知函数,对于上的任意x1,x2,有如下条件： ①x1>x2; ②x21>x22;  ③|x1|>x2. 其中能使f(x1)> f(x2)恒成立的条件序是　　　　　　. 参考答案： ② 16. 已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是         参考答案： 2 17. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆,则这个几何体的表面积是         . 参考答案： 由三视图可知,该几何体是一挖去半球的球.其中两个半圆的面积为.个球的表面积为,所以这个几何体的表面积是. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵． 参考答案： 解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6 ，即c＋d＝6； 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝ ，可得 ＝ ，即3c－2d＝－2． 解得 即A＝ ， A的逆矩阵是 ．   19. 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图， 甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求： （Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望. 参考答案： 20. 已知函数. （1）若对任意的恒成立，求实数的最小值； （2）若函数，求函数的值域. 参考答案： （1）对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 等价于对任意的 因为， 当且仅当时取等号，所以，得. 所以实数的最小值为. （2）因为， 所以， 当时，， 当时，. 综上，. 所以函数的值域为. 21. 已知C为圆是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且    （Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；    （Ⅱ）一直线，原点到的距离为 （1）求证直线与曲线E必有两个交点。 （2）若直线与曲线E的两个交点分别为G、H， 求△OGH的面积的最大值。 参考答案： 解：（Ⅰ）圆，半径 QM是P的中垂线，连结AQ，则|AQ|=|QP| 又， 根据椭圆的定义，点Q轨迹是以C（－，0），A（，0）为焦点，长轴长为2  的椭圆，……………………2分 由因此点Q的轨迹方程为………………4分 （Ⅱ）（1）证明：当直线l垂直x轴时，由题意知： 不妨取代入曲线E的方程得： 即G（，），H（，－）有两个不同的交点，………………5分 当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为： 由题意知： 由 ∴直线l与椭圆E交于两点 综上，直线l必与椭圆E交于两点…………………………8分 （2）由（1）知当直线l垂直x轴时， ………………9分 当直线l不垂直x轴时 设（1）知 ………10分 当且仅当，则取得“=” ……………………12分 当k=0时，…………………………13分 综上，△OGH的面积的最小值为……………………14分   略 22. （14分）设函数f（x）=x|x﹣a|+b． （1）当a=1，b=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值． （2）若f（x）为奇函数，求证：a2+b2=0； （3）设常数b=﹣1，且对任意x∈，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点： 函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）将a=1，b=1代入方程，解之即可； （2）根据奇函数的定义式可以找到a，b的关系式，化简可得结论； （3此问属于不等式恒成立问题，可研究函数的单调性，然后将问题转化为函数的最值问题来解． 解答： （1）当a=1，b=1时，函数f（x）=x|x﹣1|+1． x|x﹣1|+1=x 解得x=1或x=﹣1； （2）若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立， 即﹣x|﹣x﹣a|+b+x|x﹣a|+b=0， 令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴a2+b2=0． （3）由b=﹣1，当x=0时，a取任意实数不等式恒成立． 当0＜x≤1时，f（x）＜0恒成立，也即 恒成立． 令，因为，所以g（x）在上单调递增， ∴a＞g（x）max=g（1）=0， 令h（x）=，因为当0＜x＜1时，，则h（x）在上单调递减， ∴a＜h（x）min=h（1）=2． ∴实数a的取值范围为0＜a＜2． 点评： 本题综合考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及函数与方程的关系，属于中档题，要认真体会解题思路．