广东省惠州市雅中学校高一数学理上学期期末试题含解析

广东省惠州市雅中学校高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设a＞0，b＞0，若是和的等比中项，则的最小值为（　 ） A. 6 B. C. 8 D. 9 参考答案： A 试题分析： 由题意a＞0，b＞0，且是和的等比中项，即，则，当且仅当时，即时取等号． 考点：重要不等式，等比中项 2. 已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（  ） A．         B．       C.        D． 参考答案： A 3. 为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，他只记得号码的前5位，后三位由5，1，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了．他第一次就拨通电话的概率是 A．         　　 B．       　     C． D． 参考答案： C 略 4. 已知，则（） A. 1         B. －1              C.2 D. －2 参考答案： A 5. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，那么a的值是(    ) A．0                  B．0 或1          C．1              D．不能确定 参考答案： B 6. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： D 【详解】试题分析：抽样方法为系统抽样，总数是35人，抽7人，也就是5个人抽一个，有20人，包含第3、4、5四个组，所以抽取4个． 考点：1、茎叶图；2.系统抽样． 7. 直线经过点A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角取值范围是   （    ）A．      B． C． D． 参考答案： B 8. 设有4个函数，第一个函数是y = f ( x )，第二个函数是它的反函数，将第二个函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到第三个函数的图象，第四个函数的图象与第三个函数的图象关于直线x + y = 0对称，那么第四个函数是（   ） （A）y = – f ( – x – 1 ) – 2                （B）y = – f ( – x + 1 ) – 2 （C）y = – f ( – x – 1 ) + 2                （D）y = – f ( – x + 1 ) + 2 参考答案： C 9. （5分）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（） A． 相切 B． 相交但直线不过圆心 C． 直线过圆心 D． 相离 参考答案： B 考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 计算题． 分析： 求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案． 解答： 由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1 则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1， 把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心． 所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心． 故选B 点评： 此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题． 10. 在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 试题分析：，则有，则有，即，即，则有，即，因为， 所以，故有，解得，因为，所以，故选C. 考点：1.正弦定理；2.边角互化   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知、之间的一组数据如上表：则线性回归方程所表示的直线必经过点        .   参考答案： 略 12. 已知函数在[2,4]上单调递增，则k的取值范围是         ． 参考答案： k 13. 函数的值域为    ▲    . 参考答案： 略 14. 圆上的点到直线的距离的最小值                   ． 参考答案： 略 15. 已知（），则________.（用m表示） 参考答案： 【分析】 根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故，解得， 又，， 所以. 故填. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题. 16. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若，则          ． 参考答案： 1 所以   17. f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则x＜0时f（x）=　　． 参考答案： sin2x﹣cosx 考点： 函数奇偶性的性质．3259693 专题： 计算题． 分析： 设x＜0，则﹣x＞0，适合x＞0时的解析式，求得f（﹣x）再由f（x）为奇函数，求得f（x）． 解答： 解：设x＜0，则﹣x＞0， 又因为x＞0时，f（x）=sin2x+cosx 的以f（﹣x）=cosx﹣sin2x 又因为f（x）为奇函数， 所以f（x）=﹣f（﹣x）=sin2x﹣cosx 故答案为：sin2x﹣cosx 点评： 本题主要利用奇偶性来求对称区间上的解析式，注意求哪个区间上的解析式，要在哪个区间上取变量． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知等差数列的前项和为，且.   （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求证：是等比数列，并求其前项和.    参考答案： 解：（Ⅰ）依题意有         略 19. 如图1，在Rt△PDC中，，A、B、E分别是PD、PC、CD中点，，.现将沿AB折起，如图2所示，使二面角为120°，F是PC的中点. （1）求证：面PCD⊥面PBC； （2）求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值. 参考答案： （1）见解析（2） 【分析】 （1）证明面得到面面. （2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值. 【详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面. ∵，∴面. ∵面，∴，又∵，∴， ∵，，∴面. 面，∴. 又∵且是中点，∴，∴，∴面. ∵面，∴面面. 法二：同法一得面. 又∵，面，面，∴面. 同理面，，面，面. ∴面面. ∴面，面，∴. 又∵且是中点，∴，∴，∴面. ∵面，∴面面. （2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影. ∴为直线与平面所成的角， ∵且，∴二面角的平面角是. ∵，∴，∴. 又∵面，∴.在中，. 在中，. ∴在中，. 【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20. 各项均为正数的等比数列{an}满足，. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设，数列的前 n项和为Tn，证明：. 参考答案： (1) (2)见证明 【分析】 （1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简，再利用裂项相消法求和，即证得结果. 【详解】解：（1）设等比数列的公比为， 由得， 解得或. 因为数列为正项数列，所以， 所以，首项， 故其通项公式为. （2）由（Ⅰ）得 所以， 所以 . 【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 21. (13分) 已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<. (1)求tan2α的值； (2)求β的值. 参考答案： (1)由cosα＝，0<α<， 得sinα＝＝＝， ∴tanα＝＝×＝4. 于是tan2α＝＝ ＝－.                                                     ………6分 (2)由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β) cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)=                       又∵0<β< ∴β=                                                            ……13分 22. 某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x（x∈N*，x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售． （1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值； （2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由． 参考答案： 【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（1）由题意可得总利润y等于总收入减去总成本（固定资产加上维护费），结合二次函数的最值求法，即可得到最大值； （2）求得年平均利润为，再由基本不等式，结合x为正整数，加上即可得到最大值，及对应的x的值． 【解答】解：（1）y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣x（2+2x） =﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N）， 由二次函数的性质可得，当x=8时，ymax=44， 即有总利润的最大值为44万元； （2）年平均利润为=16﹣（x+），设f（x）=16﹣（x+），x＞0， 由x+≥2=4，当x=2时，取得等号． 由于x为整数，且4＜2＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7， 即有x=4或5时，f（x）取得最大值，且为7万元． 故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机．