广东省广州市聚德中学2023年高一数学文上学期期末试题含解析

广东省广州市聚德中学2023年高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. tan60°=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案． 【解答】解：tan60°=， 故选：D 2. 已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列四个命题： ①数列{an}是递增数列； ②数列{nan}是递增数列； ③数列是递增数列； ④数列是递增数列； 其中正确命题的个数为（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【详解】设等差数列，d＞0 ∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题． 对于②，数列，得， ，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题． 对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题． 对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题． 故选：B． 3. 参考答案： D 略 4. 若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（?UM）∩N等于（　　） A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6} 参考答案： A 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合． 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：由补集的定义可得?UM={2，3，5，6}， 则（?UM）∩N={2，3}， 故选：A 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 5. 已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系． 【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵α为第二象限角，sinα=， ∴cosα=﹣=﹣， ∴tanα==﹣， 则tan（π+α）=tanα=﹣． 故选D 6. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（    ） A．     B． C．   D． 参考答案： D 7. 点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(     )． A、 B、 C、 D、 参考答案： D 8. 集合的子集有几个                                    （      ） A.          B.              C.          D. 参考答案： B 略 9. 若函数 的定义域为R，则实数m的取值范围是 A.(－∞,+∞) B. C. D. 参考答案： D 由题意知， 在 上恒成立． （1）当 时，满足条件； （2）当 时，二次方程 无实根，故 ，所以 ． 综上 ． 10. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（      ）            A．    B． yjw   C．  D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 观察下列不等式：，，，，，，由此猜想第个不等式为       ▲            . 参考答案： 略 12. 函数的定义域为A，值域为B，则A∩B=     ▲    . 参考答案： [0，2] 略 13. 已知函数，则__；若，则的值为__. 参考答案： －3 ； 2或－5 【分析】 直接令求解,再根据列出关于的关系式进行求解即可. 【详解】,又故, 所以2或-5 故答案为：－3； 2或－5 【点睛】本题主要考查二次函数的基本运算,属于基础题型. 14. 在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={|}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量1=(x1，y1)，2=(x2，y2)，12，当且仅当“”或“且”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： ①若1=(1,0)，2=(0,1)，=(0,0)，则12； ②12, 23，则13； ③若12，则对于任意D,( 1+) (2+)； ④对于任意向量，=(0,0)，若12，则1>2． 其中真命题的序号为        .                            参考答案： ①②③ 15. 在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为，M，N分别是SC,BC的中点，且,则此三棱锥侧棱SA=         .                     参考答案： 略 16. 已知函数，满足，则a=______. 参考答案： 2 【分析】 根据得出函数的对称轴，再根据的性质列方程，由此求得的值. 【详解】由于，故是函数的对称轴，由于的对称轴为，故，解得. 【点睛】本小题主要考查函数的性质，考查含有绝对值函数的性质，属于基础题. 17. （5分）已知α为第三象限的角，，则=         参考答案： 考点： 两角和与差的正切函数；象限角、轴线角；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦． 专题： 计算题． 分析： 方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值． 方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同． 解答： 方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z）， 又＜0，所以， 于是有，， 所以=． 方法二：α为第三象限的角，，?4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π?2α在二象限， 点评： 本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设直线l经过点M和点N（﹣1，1），且点M是直线x﹣y﹣1=0被直线l1：x+2y﹣1=0，l2：x+2y﹣3=0所截得线段的中点，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】待定系数法求直线方程． 【分析】记直线l与两平行线的交点为C、D，CD的中点为M，由两直线交点坐标、中点坐标的求法得到点M的坐标，然后利用待定系数法求直线 l的方程． 【解答】解：设直线 x﹣y﹣1=0与l1，l2的交点为 C，D， 则，∴x=1，y=0，∴C（1，0） ，∴x=，y=，∴D（，） 则C，D的中点M为（，）． 又l过点（﹣1，1）由两点式得l的方程为，即2x+7y﹣5=0为所求方程． 19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=． （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】解三角形；二倍角的余弦；余弦定理． 【分析】（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数； （2）利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：（1）∵A+B+C=180°， ∴=90°﹣， 由得：， ∴， 整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0， 解得：， ∵0°＜C＜180°， ∴C=60°； （2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab， ∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab?ab=6， ∴． 20. 设函数是定义在上的减函数，并且满足 ，． （1）若存在实数，使得＝2，求的值； （2）如果，求的集合. 参考答案： （1）且函数是定义在上的减函数                  （2）              且函数是定义在上的减函数                         即            略 21. 为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店1～5月的月营业额y（单位：万元）与月份的数据，如下表： x 1 2 3 4 5 y 11 13 16 15 20 （1）求y关于x的回归直线方程； （2）若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率. 附：回归直线方程中， ，. 参考答案： 解：（1），，，，所以， 于是，所以回归有线方程为：. （2）用，分别表示所取的两个样本点所在的月份，则该试验的基本事件可以表示为有序实数对，于是该试验的基本事件空间为： ，共包含个基本事件， 设“恰有一点在回归直线上”为事件，则中，共包含个基本事件， 所以.   22. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1）求该几何体的体积V.                      (2）求该几何体的侧面积S. 参考答案： （1）由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO=4，O点是AC与BD的交点. 所以该几何体的体积V=×8×6×4=64. (2）如图所示，OE⊥AB，OF⊥BC， 在侧面VAB中，VE==5，                       所以S△VAB=×AB×VE=×8×5=20. 在侧面VBC中，VF=，