广东省佛山市顺德华侨中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省佛山市顺德华侨中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（　　） A．2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日 参考答案： C 【考点】进行简单的合情推理；分析法和综合法． 【专题】综合题；推理和证明． 【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期． 【解答】解：由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26， 根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日， 故选：C． 【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 2. 坐标平面上的点集S满足S={（x，y）|log2（x2﹣x+2）=2sin4y+2cos4y，y∈[﹣，]，将点集S中的所有点向x轴作投影，所得投影线段的长度为(     ) A．1 B． C． D．2 参考答案： D 【考点】函数的图象；对数的运算性质． 【分析】先求出2sin4y+2cos4y=2﹣4sin2y?cos2y=2﹣（sin2y）2的范围，即可得出函数y=log2（x2﹣x+2）的值域范围，从而求出函数函数y=log2（x2﹣x+2）的定义域，进一步可求投影长度． 【解答】解：1=（sin2y+cos2y）2=sin4y+cos4y+2sin2y?cos2y， ∴2sin4y+2cos4y=2﹣4sin2y?cos2y=2﹣（sin2y）2， ∵y∈[﹣，]，∴2y∈[﹣，]，∴≤sin2y≤1， ∴2﹣（sin2y）2∈[1，2] ∴log2（x2﹣x+2）∈[1，2]， ∴2≤x2﹣x+2≤4， ∴﹣1≤x≤0，或1≤x≤2 故x的投影长度为1+1=2， 故选：D 【点评】本题综合考查函数定义域与值域问题，考查的较为灵活，做题中要注意转化． 3. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是             （    ）          A．cm3                  B．cm3              C．cm3         D．cm3 参考答案： B 4. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为   A 48    B．32十   C．48 +    D． 80 参考答案： 5. 球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，那么平面DEF截球O所得截面的面积是（    ） A. 36π B. 40π C. 48π D. 54π 参考答案： C 【分析】 先算出外接球的半径，然后算出球心到截面的距离，利用勾股定理可求得截面圆的半径，从而可得到本题答案. 【详解】由正四面体的性质可知：，，因为，在中，由勾股定理得，由平行面分线段成比例可知：，故，，故所求截面面积为. 故选：C 【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的截面圆的面积问题. 6. 已知,则(    ) A.           B. 2             C.             D. 参考答案： D 7. 已知等比数列满足则 A.121    B.154     C.176     D.352 参考答案： C 整体思想：，； . 选C. 8. 已知集合,下列结论成立的是（  　　） A．   B．  C． D． 参考答案： D 略 9. 已知函数y＝f (x)是偶函数，且函数y＝f (x－2)在[0，2]上是单调减函数，则 （    ） A. f (－1)＜f (2)＜f (0) B．f (－1)＜f (0)＜f (2) C. f (2)＜f (－1)＜f (0) D．f (0)＜f (－1)＜f (2) 参考答案： D 10. 变量x，y之间的一组相关数据如表所示： x 4 5 6 7 y 8.2 7.8 6.6 5.4 若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（　　） A．﹣0.92 B．﹣0.94 C．﹣0.96 D．﹣0.98 参考答案： C 【考点】线性回归方程． 【分析】求出样本的中心点，代入回归方程求出的值即可． 【解答】解：由题意得： =5.5， =7， 故样本中心点是（5.5，7）， 故7=5.5+12.28，解得： =﹣0.96， 故选：C． 【点评】本题考查线性回归方程的性质，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是          ． 参考答案： 12. 函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足： （1）f（x）在[a，b]内是单调函数； （2）f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“美丽区间”． 下列函数中存在“美丽区间”的是         （只需填符合题意的函数序号）． ①f（x）=x2（x≥0）；   ②f（x）=ex（x∈R）； ③f（x）=；     ④f（x）=． 参考答案： ①③④ 【考点】函数的值域． 【专题】新定义；函数的性质及应用． 【分析】根据函数中存在“美丽区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或，对四个函数分别研究，从而确定存在“美丽区间”的函数． 【解答】解：①．若f（x）=x2（x≥0），若存在“美丽区间”[a，b]， 则此时函数单调递增，则由，得，∴， ∴f（x）=x2（x≥0）存在“美丽区间”[0，2]，∴①正确． ②，若f（x）=ex（x∈R），若存在“美丽区间”[a，b]， 则此时函数单调递增，则由，得， 即a，b是方程ex=2x的两个不等的实根， 构建函数g（x）=ex﹣2x， ∴g′（x）=ex﹣2， ∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增， ∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值． ∵g（ln2）=2﹣ln2＞0， ∴g（x）＞0， ∴ex﹣2x=0无解，故函数不存在“美丽区间”，∴②不正确； ③，∵f（x）=，在（0，+∞）上是减函数，若存在“美丽区间”[a，b]， 则，得， ∴满足ab=的区间[a，b]都是“美丽区间”，故③正确； ④．若函数f（x）=（x≥0）， f′（x）==， 若存在“美丽区间”[a，b]?[0，1]， 则由，得， ∴a=0，b=1， ∴存在“美丽区间”[0，1]，∴④正确． 故答案是①③④． 【点评】本题主要考查了与函数的性质有关的新定义问题，涉及知识点较多，综合性强，难度较大． 13. 对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25) 和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为     ． 参考答案： 100； 14. 已知各项均为正数的等比数列{an}，前n项和为Sn，且a1=2，则Sm=　　． 参考答案： 62 【考点】89：等比数列的前n项和． 【分析】，an＞0，可得am=a5=32，a1=2，可得公比q=，再利用求和公式即可得出． 【解答】解：∵，an＞0， ∴am=a5=32，a1=2， ∴公比q==2， ∴S5==62． 故答案为：62． 15. 方程的解是           参考答案： 。 原方程可化为，解得，或（舍去）， ∴。 16. 在的展开式中项的系数为      ． 参考答案： 10 17. 若圆锥的母线长为cm，底面圆的周长为cm，则圆锥的体积为     . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D． （Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值； 参考答案： 本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一： （Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD， ∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O， ∴OD∥PB1，又ODì面BDA1，PB1?面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1． （Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A， ∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1． ∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角． 在Rt△A1C1D中，， 又，∴． 在Rt△BAE中，，∴． 故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为． 解法二： 如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，． （Ⅰ）在△PAA1中有，即． ∴，，． 设平面BA1D的一个法向量为， 则令，则． ∵， ∴PB1∥平面BA1D， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量． 又为平面AA1D的一个法向量．∴． 故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为． 19. 象棋比赛中，胜一局得2分，和棋一局得1分，负一局得0分，在甲对乙的每局比赛中，甲胜、和、负的概率依次为0.5，0.3，0.2，得分累加。 （I）现此二人进行两局比赛，求甲得2分的概率； （II）若两人进行三局比赛，求甲至少得4分的概率 参考答案： （I）解：分别记甲第i局胜、和、负为事件，则 甲得2分的事件为，其概率      ……………………6分   (2)甲至少得4分包含三种情况：4分，5分和6分，得4分时甲胜两局负一局或者胜一局和两局；得5分时甲胜两局和一局；6分时甲胜三局 设甲得4分为事件A,甲得5分为事件B, 甲得6分为事件C，则 P(A)= =0.285     P(B)==0.225      P(C)=0.53=0.125 ∴P=0.285+0.225+0.125=0.635 …………12分 略 20. （本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）;（Ⅱ） 【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合应用 解析：（Ⅰ）由题意知，，则，，          所以．所以椭圆的方程为．