湖南省长沙市丁字中学高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函教的图象与直线y = b (0
0)上的两点，OA⊥OB(O为坐标原点)，若AB所在直线的斜率为，且与x轴交于(4，0)点，则抛物线C的方程为( )
A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝8x D.y2＝12x
参考答案：
B
7. 已知全集，集合，，则
A. B. C. Ｄ.
参考答案：
A
略
8. 设A，B为两个不相等的集合，条件p：x?（A∩B），条件q：x?（A∪B），则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：集合；简易逻辑．
分析：根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答： 解：当x∈A，且x?（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，
若x?（A∪B，则x?（A∩B），成立，即必要性成立，
故p是q必要不充分条件，
故选：C
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键．
9. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．
【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，
由题意得当正方体体积最大时： =R2，
∴R=，
∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：
==．
故选：A．
10.
在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面，则平面内任意一条直线；③若平面与平面的交线为，平面内的直线直线，则直线平面；④若点到三角形三条边的距离相等，则点在该三角形内部的射影是该三角形的内心。
其中正确命题的个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案：
答案:B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，当时，给出下列几个结论：
①；②；
③;④当时，.
其中正确的是__________（将所有你认为正确的序号填在横线上）．
参考答案：
略
12. 给出下列命题：
（1）“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件；
（2）“a=2”是“函数f(x)=在区间为增函数”的充要条件；
（3）“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0相互垂直”的充要条件；
（4） 设a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C所对的边，若a=1.b=,则“A=30°”
是“B=60°”的必要不充分条件。
其中真命题的序号是______________(写出所有真命题的序号)
参考答案：
（1）（4）
略
13. 已知向量满足则向量与夹角的余弦值为 ．
参考答案：
-
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：把|+|=两边平方，然后代入数量积公式求得向量与夹角的余弦值．
解答：解：由||=，||=2，|+|=，得
，即，
∴3+2×+4=5，
即．
故答案为：．
点评：本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．
14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S= ▲ ．
参考答案：
略
15. 若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围为__________．
参考答案：
由题意，可求得交点坐标为，如图所示，
要使直线上存在点满足约束条件，则．
16. 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 ．
参考答案：
210
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】设前3m项和为 x，则 30，100﹣30，x﹣100 成等差数列，解出 x的值，即为所求．
【解答】解：等差数列{an}的每m项的和成等差数列，设前3m项和为 x，则 30，100﹣30，x﹣100 成等差数列，
故 2×70=30+（x﹣100 ），x=210，
故答案为：210．
【点评】本题考查等差数列的性质，前n项和的性质，得到 30，100﹣30，x﹣100 成等差数列，是解题的关键．
17. 设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是__________．
参考答案：
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：
由f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2．
由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，x≥0，解得x=，
故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤；
故答案为：
点评：本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，关键得到f（a）≥﹣2．结合图形得到a的范围，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在创城活动中，海曲市园林公司设计如图所示的环状绿化景观带.
已知该景观带的内圈由两条平行线段（图中的）和两个半圆构成，设计要求长为.
（Ⅰ）若内圈周长为400米，则取何值时，矩形的面积最大？
（Ⅱ）若景观带的内圈所围成区域的面积为，则取何值时，内圈周长最小？
参考答案：
(I)；(II).
（Ⅱ）设半圆的半径为，由题意可得，可得，
即有内圈周长，………………………………9分
由，可得，解得，
设，，即有在上递减，即有，即时，周长取得最小值.…………………………13分
考点：圆与矩形的边长面积公式及导数等有关知识的综合运用．
19. (本小题满分13分)设函数且是定义域为的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，且在上的最小值为，求的值．
参考答案：
（1）（法一）由题意，对任意，，
即，………2分
即，，………4分
因为为任意实数，所以． ………5分
（法二）因为且是定义域为的奇函数．………2分
所以，即，………4分
解得………5分
（2）由（1），因为，所以，
解得．………7分
故，，………8分
令，则，………10分
由，得，
所以， ………11分
当时，在上是增函数，则，，
解得（舍去）．………12分
当时，则，，解得，或（舍去）．（13分）
20. 已知函数，（其中）．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当时，．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）.
参考答案：
解： （Ⅰ），
∴（，），
由，得，由，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值． 3分
（Ⅱ）函数，
则，
令，∵，解得，或（舍去），
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
函数在区间内有两个零点，
只需即∴
故实数a的取值范围是． 7分
（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．
设，得在上单调递增，在上单调递减．
∴，
∵=，
∴，∴，故当时，． 12分
略
21. 已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性；
(2)若且，证明：.
参考答案：
（1） ，，
当时，
又，
令，得.
（2）要证即证成立
当时，.
.
令
在单调递增
又即
，
而由知，由（1）知在单调递减.
即.
22. 每年5月到7月，是芒果的成熟季节,华南农业大学校内也种植了很多食用芒果。据该校后勤处负责人介绍，他们校内的芒果种植过程中没有使用过农药，也没有路边那种绿化芒的污染，可以放心食用。2018年该校的芒果也迎来了大丰收。6月25日，该校南北校区集中采摘芒果，并将采摘到的芒果免费派送给学校师生。现随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在,（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）现按分层抽样从质量为[250,300),[300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量x表示质量在[300,350)内的芒果个数，求x的分布列及数学期望.
（Ⅱ）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，
将频率视为概率，假如你是经销商去收购芒果，该校当时还未摘下的芒果大约还有10000个，现提供如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定你会选择哪种方案？
参考答案：
（Ⅰ）9个芒果中，质量在内的分别有6个和3个.
则的可能取值为0,1,2,3.
………………………4分
所以的分布列为
X的数学期望. ………………………6分
（Ⅱ）方案A：
………………………9分
方案B：
低于克：(0.002+0.002+0.003)×50×10000×2=7000(元）
高于或等于250克(0.008+0.004+0.001)×50×10000×3=19500(元）
总计7000+19500=26500元
由25750<26500，故B方案支出更多，应选A方案. ………………………12分
