山西省忻州市东峪口中学高二数学理模拟试题含解析

山西省忻州市东峪口中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得： =1，解得k即可判断出结论． 【解答】解：由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得： =1，解得k=． ∴p是q的充分不必要条件． 故选：A． 2. 抛物线：的焦点坐标是（   ） A.      B.       C.      D. 参考答案： B 3. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】抛物线的应用． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径． 【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4）， 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：， 故选C． 【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想． 4. 已知空间四边形O-ABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是OA，CB 的中点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG=3GN，用向量，，表示向量 ，则 A. B. C. D. 参考答案： D 5. 设集合， ，则“x∈A”是“x∈B”的 A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件 C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 求解不等式可得：，， 据此可得“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件. 本题选择A选项.   6. 有一段演绎推理是这样的：“幂函数在(0,+∞)上是增函数；已知是幂函数；则在(0,+∞)上是增函数”，其结论显然是错误的，这是因为（    ） A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 参考答案： A 【分析】 分别判断大前提、小前提、以及推理形式是否正确即可. 【详解】因为“幂函数在上是增函数”是错误的， 所以得到结论错误，结论错误的原因是大前提错误，故选A. 【点睛】本题主要考查三段论的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 7. “直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(  ) A.充分不必要条件   B.必要不充分条件  C.充要条件   D.不充分不必要条件 参考答案： B 8. 执行如图所示的程序框图输出的结果是（   ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 3 参考答案： A 【分析】 根据程序框图循环结构运算，依次代入求解即可。 【详解】根据程序框图和循环结构算法原理，计算过程如下： 所以选A 【点睛】本题考查了程序框图的基本结构和运算，主要是掌握循环结构在何时退出循环结构，属于基础题。 9. 已知An2=132，则n=（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 参考答案： B 【考点】排列及排列数公式． 【分析】根据排列数的公式，列出方程，求出n的值即可． 【解答】解：∵ =132， ∴n（n﹣1）=132， 整理，得， n2﹣n﹣132=0； 解得n=12，或n=﹣11（不合题意，舍去）； ∴n的值为12． 故选：B． 10. 凸n边形有条对角线，则凸n+l边形的对角线的条数）为  (    )                   参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若角满足，则 ＝_____； 参考答案： 【分析】 由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化简后，把tanα的值代入即可． 【详解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题． 12. 函数的最大值为，则的最小值为          ． 参考答案： 13. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且=          参考答案： 14. 若实数满足条件则的最大值是________ 参考答案： -1 15. 已知流程图符号，写出对应名称.   (1）        ；（2）        ；（3）        .　 参考答案： 起止框　处理框　判断框 无 16. 已知下列几个命题： ①已知F1、F2为两定点，=4，动点M满足，则动点M的轨迹是椭圆。 ②一个焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线标准方程是 ③“若=b，则a2=ab”的否命题。④若一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点。 其中真命题有____________ 参考答案： ②④ 略 17. 在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（－2，0），右顶点为D（4，0）. 设点A的坐标是（2，1），过原点O的直线交椭圆于点B、C，则△ABC面积的最大值是                . 参考答案： 4     解析：由已知得椭圆的半长轴a=4，半焦距c=2，则半短轴b=2. 又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为     当直线BC垂直于x轴时，BC=4，因此，△ABC的面积     当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx. 由 解得         所以，，又点A到直线BC的距离，     所以，△ABC的面积     由，其中，当等号成立.     所以的最大值是. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 2013年将举办的第十二届中国?东海国际水晶节，主题为“水晶之都?福如东海”，于9月28日在国内唯一水晶博物馆正式开幕．为方便顾客，在休息区200m2的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域（阴影部分），已知下方是两个相同的矩形．在休闲区域四周各留下1m宽的小路，若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1：2．问如何设计休息区域，可使总休闲区域面积最大． 参考答案： 解：设整个休息区域的宽为xm，则高为m． 下方矩形宽为，高为； 上方矩形宽为x﹣2，高为．        则休闲区域面积=m2．       当且仅当，即m时，上式取等号． 答：当矩形的宽为m，高为15m时，休闲区域面积最大． 考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 应用题． 分析： 设整个休息区域的宽为xm，建立休闲区域面积对应的函数关系式，利用基本不等式进行求解即可． 解答： 解：设整个休息区域的宽为xm，则高为m． 下方矩形宽为，高为； 上方矩形宽为x﹣2，高为．        则休闲区域面积=m2．       当且仅当，即m时，上式取等号． 答：当矩形的宽为m，高为15m时，休闲区域面积最大． 点评： 本题主要考查函数的应用题，利用基本不等式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力． 19. 如图，在三棱锥B-ACD中，，，，. (Ⅰ)求证:； (Ⅱ)求直线BD与面ABC所成角的正弦值.   参考答案：         …………6分 ……8分 20. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．现以点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）． （I）写出直线l和曲线C的普通方程； （Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（﹣2，﹣3），求|PA|?|PB|的值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程． （Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C，利用韦达定理以及直线标准参数方程下t的几何意义求得|PA|?|PB|的值 【解答】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程即， 所以ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，所以x2+y2﹣4x﹣4y=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=8． 把直线l的参数方程为（t为参数）消去参数， 化为普通方程为：． （Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0， 得，∴，∴t1t2=33． 因为点P（﹣2，﹣3）显然在直线l上，由直线标准参数方程下t的几何意义知|PA||PB|=|t1t2|=33， 所以|PA||PB|=33． 21. （本小题满分8分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性65人，男性55人。女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动。 （Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表； （Ⅱ）能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系，为什么？ 参考公式：，其中为样本容量。 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考答案： （Ⅰ）列联表   看电视 运动 总计 男 20 35 55 女 40 25 65 总计 60 60 120 5分 （Ⅱ）解：因＝7.552>6.635，故有99％的把握认为性别与休闲方式有关系。  8分 22. （本题满分13分） 已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)， 曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间； (3)设g(x)＝(x2＋x)，其中f′(x)为f(x)的导函数， 证明：对任意x>0，g(x)<1＋e-2. 参考答案： (1)解　由得，x∈(0，＋∞)． 由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.………(3分) (2)解　由(1)得f′(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．……(7分) (3)证明　因为g(x)＝(x2＋x) ，所以g(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)． 因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x< (1＋e－2)．由(2)知h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2