湖南省衡阳市衡东县蓬源中学高二数学文联考试题含解析

湖南省衡阳市衡东县蓬源中学高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 参考答案： B 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L7：简单空间图形的三视图；LR：球内接多面体． 【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案． 【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥， 其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球， 故球半径R满足2R=， 故球的表面积S=4πR2=3π， 故选：B． 2. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)． A．球  B．三棱锥  C．正方体  D．圆柱 参考答案： D 3. 将正奇数1,3,5,7,排成五列(如表),按此表的排列规律,89所在的位置是 （　　） A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 参考答案： D 略 4. 已知直线l1：3x+4y+1=0与直线l2：4x﹣3y+2=0，则直线l1与直线l2的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．重合 D．无法确定 参考答案： B 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】计算题；规律型；直线与圆． 【分析】求出直线的斜率，判断两条直线的位置关系． 【解答】解：直线l1：3x+4y+1=0的斜率为：﹣，直线l2：4x﹣3y+2=0的斜率为：， 显然有=﹣1， 直线l1与直线l2的位置关系是垂直． 故选：B． 【点评】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力． 5. 某程序框图如下左图所示，该程序运行后的的值是（  ） A．           B．           C．          D． 参考答案： A 6. 直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点，且，则直线过定点（　　） Ａ．（１，０）　　　Ｂ．（２，０）　　　Ｃ．（３，０）　　Ｄ．（４，０） 参考答案： B 略 7. 已知 函数  ，那么 的值为        A．  9          B．            C．         D．  参考答案： B 8. 过点，且与有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A．      B．       C． D． 参考答案： B 9. 利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下表，读出的第3个数是（   ） A．841              B．114              C．014             D．146 参考答案： B 10. 给出命题： (1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行； (2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α； (3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，若m⊥β，则α⊥β； (4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行。 其中正确命题个数是             (　　 ) A．0  B.1 C.2  D.3 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区活动，则选中的2人都是女同学的概率__________． 参考答案： ； 【分析】 利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由古典概型的概率公式得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 12. 以椭圆 中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_______. 参考答案： 13. 某旅游公司年初以98万元购进一辆豪华旅游车，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，该车每年的旅游效益为50万元，设第n年开始获利，列出关于n的不等关系． 参考答案： 98+12+（12+4）+（12+4×2）+…+[12+（n－1）×4]＜50n 14. 抛物线x=y2的焦点到双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为           ． 参考答案： 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到． 解答： 解：抛物线x=y2的焦点为（1，0）， 双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0， 则焦点到渐近线的距离d==， 即有b=a， 则c==a， 即有双曲线的离心率为． 故答案为：． 点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于基础题． 15. 定义函数（K为给定常数），已知函数，若对于任意的，恒有，则实数K的取值范围为        ．     参考答案： 略 16. 二项式（x﹣）6的展开式中第5项的二项式系数为　_________　．（用数字作答） 参考答案： 略 17. 在数列中,,猜想这个数列的通项公式为_______ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面，四边形为长方形，，点、分别是线段、的中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点的位置，并证明 平面；若不存在，请说明理由． 参考答案： (1)平面；（2）线段上存在一点，使得平面（点为线段的四等分点） 试题分析：(1)利用平行的传递性证明,再结合线面平行的判定定理，可得平面； （2）在线段AD上存在靠A点较近的一个四等分点O，使得平面,先在长方体ABCD中，证出△∽△，利用角互余的关系得到，再利用线面垂直的判定定理，可证明,结合PA,AC是平面PAC内的相交直线，最终得到平面 试题解析： 证明：（1）∵，，∴， 又∵平面,平面， ∴平面． ……………………6分 (2) 在线段上存在一点，使得平面， 此时点为线段的四等分点，且，    ……………… 8分 ∵底面，∴， 又∵长方形中，△∽△，∴， 10分 又∵，∴平面． 12分 考点：1.相似的判定及性质；2.直线与平面垂直的判定及性质；3.直线与平面平行的判定及性质 19. （本小题满分10分）已知函数f(x)＝x2＋ln x. (1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值； (2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方． 参考答案： ∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方． 20. 任意投掷两枚质地均匀的骰子，计算： （1）出现向上的点数相同的概率； （2）出现向上的点数之和为奇数的概率. 参考答案： （1）（2） 略 21. 若f（x）为二次函数，﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，f（0）=1 （1）求f（x）的解析式； （2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由题意和韦达定理待定系数可得； （2）问题转化为m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，由二次函数区间的最值可得． 【解答】解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0）， 由f（0）=1可得c=1， 故方程f（x）﹣x﹣4=0可化为ax2+（b﹣1）x﹣3=0， ∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根， ∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣，﹣1×3=， 解得a=1，b=﹣1，故f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+1； （2）∵在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解， ∴m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解， 故只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值， 由二次函数可知当x=﹣1时，函数g（x）取最大值5， ∴实数m的取值范围为（﹣∞，5） 22. (本小题满分10分)在中，角的对边分别为且满足 （1）求角的大小； （2）若，求. 参考答案： （1）由正弦定理可得：       -------------------------2分                                                 -------5分                                   ------------------------------8分                        -------------------------10分