山西省长治市辛寨中学高二数学理测试题含解析

山西省长治市辛寨中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，函数的最小值是（   ）   A．5           B．4           C．6            D．8 参考答案： B 2. 若点（2，2）不在x﹣（4a2+3a﹣2）y﹣4＜0表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】简单线性规划的应用． 【分析】根据点（2，2）不在x﹣（4a2+3a﹣2）y﹣4＜0表示的平面区域内，将点的坐标代入，列出关于a的不等式，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：点（2，2）不在x﹣（4a2+3a﹣2）y﹣4＜0表示的平面区域内， 根据二元一次不等式（组）与平面区域可知：点坐标适合不等式即 2﹣2（4a2+3a﹣2）﹣4≥0， 可得：4a2+3a﹣1≤0 所以a∈[﹣1，]， 故选：D． 3. 已知a≥1，曲线f（x）=ax3﹣在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则k的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 参考答案： D 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由对勾函数的单调性，可得斜率k的最小值． 【解答】解：f（x）=ax3﹣的导数为f′（x）=3ax2+， 可得在点（1，f（1））处的切线的斜率k=3a+， k=3a+的导数为3﹣， 由a≥1，可得3﹣＞0，则函数k在[1，+∞）递增， 可得k的最小值为3+1=4． 故选：D． 4. 若a＞0＞b＞，c＜d＜0,则下列命题： （1）ad＞bc;    (2) ＜0; (3) a—c＞b—d；（4）＞中能成立的个数是（     ） A. 1                B. 2                C. 3                            D. 4 参考答案： C 略 5. 已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： A 【分析】 算出后可得其对应的点所处的象限. 【详解】因为，故，其对应的点为，它在第一象限，故选A. 【点睛】本题考查复数的除法及复数的几何意义，属于基础题. 6. 已知，则曲线和有（    ） A. 相同的短轴      B. 相同的焦点     C. 相同的离心率     D. 相同的长轴 参考答案： B 略 7. 某商场有四类食品，其中粮食类，植物油类，动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品的种类之和是(   )    A．4                             B．5                     C．6                     D．7 参考答案： C 略 8. sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是     (　　) 参考答案： C 9. 已知（x2﹣3x+1）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10=（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．0 参考答案： C 【考点】二项式定理的应用． 【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a10=﹣1，由此求得 a1+a2+a3+…+a10的值． 【解答】解：由于（x2﹣3x+1）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，令x=0，可得a0=1， 令x=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a10=﹣1，∴a1+a2+a3+…+a10=﹣2， 故选：C． 10. 若一条直线过A（1，3）、B（2，5）两点，则此直线的斜率为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．2 D． 参考答案： C 【考点】直线的斜率． 【分析】根据两点坐标求出直线l的斜率即可． 【解答】解：直线过A（1，3）、B（2，5）两点，则此直线的斜率为k==2， 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆M：，O为坐标原点，直线与圆M相 切，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于A、B两点， 则的面积最小值是____________. 参考答案： 4 略 12. 过椭圆（）中心O的直线l与椭圆相交于A，B两点，F1，F2是椭圆的焦点，若平行四边形的面积为ab，则椭圆的离心率取值范围是          ． 参考答案： 设，由椭圆的对称性可得：， ∴，即，又， ∴椭圆的离心率取值范围是   13. 设               参考答案： 14. 过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为　　． 参考答案： x+2y﹣4=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程 【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2） 由题意可得，两式相减可得 由中点坐标公式可得，， ==﹣ ∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0 故答案为x+2y﹣4=0 15. 设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为　　． 参考答案： 4 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围． 【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3， 当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾， 当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±， ①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数， ②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数， ③当x＞时，f（x）为递增函数． 所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可 由f（）≥0，即a?﹣3?+1≥0，解得a≥4， 由f（﹣1）≥0，可得a≤4， 由f（1）≥0解得2≤a≤4， 综上a=4为所求． 故答案为：4． 16. 已知关于的不等式，它的解集是[ -1，3 ]，则 实数的值是         参考答案： -2 17. 命题：“?x∈N，x3＞x2”的否定是　　、 参考答案： ?x∈N，x3≤x2 【考点】命题的否定． 【分析】用一个命题的否定的定义来解决． 【解答】解：由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论． 故答案是?x∈N，x3≤x2 【点评】本题考查一个命题的否定的定义． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）   去年央视记者就“你幸福吗？”采访了走在接头及工作岗位上的部分人员.人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.为了解某地区居民的幸福感，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如下表所示： 幸福感指数 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10] 男居民人数 10 20 220 125 125 女居民人数 10 10 180 175 125 根据表格，解答下面的问题： (1)                                                                                                                             补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该地区居民幸福感指数的平均值； (2)                                                                                                                             如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福.据此，又在该地区随机抽取3对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）. 参考答案： （1）幸福感指数在，内 的频数分别为220+180=400，和125+175=300， 因总人数为1000，所以，相应的频率÷组距 为400÷1000÷2=0.2，300÷1000÷2=0.15 据此可补全频率分布直方图如右...........3分 所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+        0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46 ...................5分   （2）男居民幸福的概率为 女居民幸福的概率为 故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3      ...........................7分 因此X的可能取值为0，1，2，3，且X～B(3,0.3)   于是  ....................9分   X的分布列为 X                 0     1     2    3 p 0.343 0.441   0.189   0.027             ………………………………11分   ………12分 （或） 19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线. (I)当求的普通方程； (II)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求. 参考答案： 解：（I）设，则由条件知，由于点在上，所以 ，即. 从而的参数方程为(为参数).  x2+(y-4)2=16      6分 (II)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为. 射线与的交点的极径为， 射线与的交点的极径为， 所以.     12分   略 20. 设{an}是公比为正数的等比数列，. (1)求{}的通项公式； (2)求数列{ }的前n项和. 参考答案： (1)设q为等比数列{an}的公比，则由得， 即，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2. 所以{}的通项为 (n∈N*)． (2) . 21. 本小题满分12分） 已知关于的方程，其中，，. （1）求方程有实根的概率； （2）若，求方程有实根的概率. 参考答案： 解：方程有实根， （1）点所构成的区域为，面积=； 设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为， 其面积， 这是一个几何概型，所以 （2）因为，所以的所有可能取值有9个，分别是： 其中，满足的有5个：. 设“方程有实根”为事件B，这是一个古典概型，所以 答：（1）所求概率为；（2）所求概率为.ks5u 略 22. （本题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设，，