湖南省衡阳市耒阳竹市中学高二数学理期末试题含解析

湖南省衡阳市耒阳竹市中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由向量的线性运算的法则计算． 【详解】-＝，， ∴+（-）． 故选C． 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 2. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，设甲、乙两人在这几场比赛中的平均得分分别为，得分的方差分别为、，则（    ） A．，           B．，        C．，           D．，        参考答案： A 略 3. 不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（　　） A．B．{x|x＞1} C．{x|x＜1或x＞2} D． 参考答案： D 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】把不等式的左边分解因式后，即可得到原不等式的解集． 【解答】解：不等式2x2﹣x﹣1＞0， 因式分解得：（2x+1）（x﹣1）＞0， 解得：x＞1或x＜﹣， 则原不等式的解集为， 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型． 　 4. 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： D 【考点】BC：极差、方差与标准差． 【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可． 【解答】解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1， ∴样本方差为S2= [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2， 故选：D． 【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键． 5. 对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是（   ） .模型Ⅰ的相关系数为     .模型Ⅱ的相关系数为     .模型Ⅲ的相关系数为     .模型Ⅳ的相关系数为 参考答案： A 6. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（   ） A. ①、③           B. ①、④  C. ②、③              D. ②、④ 参考答案： B 7. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，如果，那么（    ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 4 参考答案： B 【分析】 依据抛物线的定义，可以求出点A，B到准线距离，即可求得的长。 【详解】抛物线的准线方程是，所以， ，，故选B。 【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法。 8. 已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠?，则a等于（　　） A．2 B．3 C．2或4 D．2或3 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【分析】解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠?，可得b值． 【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}， 若A∩B≠?，则a=2或a=3， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 9. 某等比数列中，，则   （   ） A.  64           B.  81            C .  128          D.  243 参考答案： A 10. 函数的定义域为（   ） A．[0,+∞)            B．(－∞,0]            C．(－∞,0)             D．(0,+∞) 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在点（1,1）处的切线方程                参考答案： 12. 两个等差数列和,其前项和分别为, 且 则=            . 参考答案： 略 13. 若二项式的展开式的第三项是常数项，则=_______.    参考答案：     6； 略 14. 在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC的最大值为　　． 参考答案： 【考点】HQ：正弦定理的应用． 【分析】依题意，利用正弦定理可求得△ABM的外接圆直径，从而可用角表示出AB，AC，利用三角函数间的关系式即可求得AB+AC的最大值． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=， ∴在△ABM中，设∠AMB=θ，则∠ABM=120°﹣θ，0＜θ＜120°， 由正弦定理得： ====4， ∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°﹣θ），又点M为边AC的中点， ∴|AC|=2|AM|=8sin（120°﹣θ）， ∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°﹣θ） =4sinθ+8×cosθ﹣8×（﹣）sinθ =8sinθ+4cosθ =4sin（θ+φ），（其中tanφ=）． ∴当sin（θ+φ）=1时，|AB|+|AC|取得最大值． ∴|AB|+|AC|的最大值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角函数间的关系式及辅助角公式的应用，能用三角关系式表示出AB+AC是关键，也是难点，属于中档题． 15. 对于椭圆和双曲线有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;  ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是              。 参考答案： 略 16. 已知，若存在，当时，有，则的最小值为__________． 参考答案： 【分析】 先作出函数的图像，由题意令，则与有两不同交点，求出的范围，再由，求出，将化为，即可求出结果. 【详解】作出函数图像如下： 因为存在，当时，有， 令，则与有两不同交点， 由图像可得， 由得，解得； 所以， 因为，所以当时，取最小值， 即的最小值为 【点睛】本题主要考查函数零点问题，以及二次函数最值问题，通过数形结合与转化的思想，将问题转化为求二次函数最值的问题，即可求解，属于常考题型. 17. 若，则常数的值为_______． 参考答案： 3 【分析】 利用微积分基本定理即可求得． 【详解】==9，解得T=3， 故答案为：3． 【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力 （1）求此人被评为优秀的概率 （2）求此人被评为良好及以上的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式． 【分析】根据题意，首先将饮料编号，进而可得从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况，即所有的基本事件；再记“此人被评为优秀”为事件D，记“此人被评为良好及以上”为事件E， （1）分析查找可得，D包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案； （2）分析查找可得，E包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案． 【解答】解：将5杯饮料编号为1、2、3、4、5，编号1、2、3表示A饮料，编号4、5表示B饮料； 则从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）；共10个基本事件； 记“此人被评为优秀”为事件D，记“此人被评为良好及以上”为事件E， （1）分析可得，D包括（123）1个基本事件， 则P（D）=； （2）E包括（123），（124），（125），（134），（135），（234），（235）7个基本事件； 则P（E）=． 【点评】本题考查列举法计算概率，注意列举时按一定的规律、顺序，一定做到不重不漏，还有助于查找基本事件的数目． 19. 已知圆C的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆C相切 （1）求圆C的方程 （2）过点的直线与圆C交于不同的两点且为时 求：的面积 参考答案： （I）设圆心为，则圆C的方程为 因为圆C与相切     所以 解得：（舍） 所以圆C的方程为：    …………………………4分 （II）依题意：设直线l的方程为： 由得 ∵l与圆C相交于不同两点 ∴      又∵  ∴ 整理得：  解得（舍） ∴直线l的方程为：  ……………………………………8分 圆心C到l的距离   在△ABC中，|AB|= 原点O到直线l的距离，即△AOB底边AB边上的高 ∴ …………………………12分 20. 参考答案： 证明  由题意知EH  BD   FG  BD   ∴EHFG ∴四边形是平行四边形 略 21. 已知点为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于两点． （1）若点为椭圆的上顶点，满足，且椭圆的右准线方程为，求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆的右准线上的射影分别为（如图所示），求证： 为锐角． 参考答案： （1）由题意可知，，．………………………………1分     设，则，     因为，所以．…………………………………………………3分     即 所以 解得 …………………………………………………5分 又因为点B在椭圆上，所以，解得． 所以． 因此椭圆的标准方程为．…………………………………………………7分 （2）设直线，（设斜率但不讨论不存在扣1分）……………………9分 设，     由，联立得，      所以，……………………………………………………………11分      所以      ， ………………………………………………………………14分 又因为，……………………………………………15分 所以为锐角．  ………………………………………………………………16分 22. 徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a＞0）． （1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】综合题． 【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域； （2）利用基本不等式可得，当且仅当，即v=10时，等