湖南省衡阳市衡东县草市镇坪中学2023年高三数学文联考试题含解析

湖南省衡阳市衡东县草市镇坪中学2023年高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知曲线与在处切线的斜率乘积为3，则的值为（       ） A            B   2         C            D    1   参考答案： D 2. 如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、 D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则 AB的距离是（   ）                        . A．20           B．20          C．40   D．20 参考答案： D 3. 已知集合，，则（    ） A．   B．   C．  D． 参考答案： D 4. 已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 参考答案： A 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之． 【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3）， 则向量==（﹣7，﹣4）； 故答案为：A． 【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒． 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣4 D． 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b，a，i的值，观察a的取值规律，可得当i=40时不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 i=1，a=﹣4 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5 … 观察规律可知，a的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得： 满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40 不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟程序运行的方法来解决，属于基础题． 6. 已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 7. 若幂函数f（x）的图象经过点A（），是它在A点处的切线方程为（　　） 　 A． 4x+4y+1=0 B． 4x﹣4y+1=0 C． 2x﹣y=0 D． 2x+y=0 参考答案： B 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题． 分析： 先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式式即可． 解答： 解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα ∴图象经过点A（）， ∴=（）α ∴α= ∴f（x）= f'（x）= 它在A点处的切线方程的斜率为f'（）=1，又过点A 所以在A点处的切线方程为4x﹣4y+1=0 故选B． 点评： 本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 8. 设a=sinxdx,则二项式的展开式的常数项是 A. 160           B. -160 C. 240           D. -240                                       参考答案： B 由，所以，所以二项式为，展开式的通项为，所以当，为常数，此时，选B. 9. 执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是(     ) （A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040 参考答案： B 略 10. 已知P是边长为2的正边BC上的动点，则                                 （    ）          A．最大值为8                                                                B．最小值为2          C．是定值6                                                                     D．与P的位置有关 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 集合，，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________ ①a的值可以为2； ②a的值可以为； ③a的值可以为； 参考答案： ②③ 【分析】 根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案. 【详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况， 集合：，故，即或， 集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 故所在的直线的倾斜角为，，故：， 解得，此时，，此时. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键. 12. 曲线在点处的切线与直线垂直，则a=________. 参考答案： ． 【分析】 先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可求出结果. 【详解】因为，所以， 因此，曲线在点处的切线斜率为； 又该切线与直线垂直，所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 13. 物体以速度（的单位：，的单位：）在一直线上运动，在此直线上与物体出发的同时，物体在物体的正前方处以（的单位：，的单位：）的速度与同向运动，则两物体相遇时物体运动的距离为________． 参考答案： 130 14. 如图，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则ED＝＿＿＿＿ 参考答案： 4 15. 已知，若单位向量与共线，则向量的坐标为      参考答案：   答案：   16. 如果随机变量，且，则＝               ． 参考答案： 根据对称性可知，所以。 17. 曲线y=lnx在点（e，1）处的切线方程为　　． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．  【专题】计算题；导数的概念及应用． 【分析】由y=lnx，知y′=，故曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，由此能求出曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程． 【解答】解：∵y=lnx，∴y′=， ∴曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=， 曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：y﹣1=（x﹣e）， 整理，得． 故答案为：． 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=|x﹣a|+2x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集； （Ⅱ）若x∈（﹣2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）当a=2时，不等式即|x﹣2|≥1，可得x﹣2≥1，或 x﹣2≤﹣1，解得x的范围，可得不等式的解集． （Ⅱ）由于 f（x）的解析式及a＞0，可得函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立， 可得f（﹣2）=a﹣2≥0，由此求得a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1，即|x﹣2|≥1，∴x﹣2≥1，或 x﹣2≤﹣1． 解得x≤1，或 x≥3，故不等式的解集为 {x|x≤1，或 x≥3}． （Ⅱ）∵f（x）=，a＞0，故函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数． 再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，可得f（﹣2）=a﹣2≥0，解得 a≥2． 故a的范围是[2，+∞）． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，属于中档题． 19. （10分）函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0. 参考答案： ∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1＋x12＞0,1＋x22＞0.又－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2＞0 ∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．                 …………7分   (3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数， ∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.                            …………10分   20. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，-为公差的等差数列． （I）求点的坐标； （II）设抛物线列,中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：； （III）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式．   参考答案：   21. （本小题满分14分）设等比数列{}的前n项和为Sn，已知。 （1）求数列{}的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为d的等差数列。 （I）在数列{}中是否存在三项（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由； （II）求证：. 参考答案： 两式相减：.              ………………2分 又, 因为数列是等比数列，所以，故. 所以  .                              ………………4分 （Ⅱ）令，              ,                  …………11分 两式相减： …………13分 .                     ………………14分 考点：等比数列通项，错位相减法求和. 22. 已知抛物线C：=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值． 参考答案： (Ⅰ) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (Ⅱ)证明过程见解析 分析：（Ⅰ）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（Ⅱ）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论. 详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），