辽宁省沈阳市第八十二高级中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件=“取到的2个数之和为偶数”,事件
=“取到的2个数均为偶数”,则=
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
2. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是( )
A．8 B．5
C．3 D．2
参考答案：
C
3. 已知：，求z=x2+y2最小值为（ ）
A．13 B． C．1 D．
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】作出可行域，则Z表示可行域内得点到原点的距离的平方．
【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：
由图可知原点到可行域内点的最小距离为原点到直线2x+y﹣2=0的距离d=．
∴z=x2+y2最小值为（）2=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，根据z的几何意义寻找最小距离是关键．
4. ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P－AD－C的大小为60°，则P到AB的距离是 （ ）
A. B. C. 2 D.
参考答案：
D
略
5. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
参考答案：
D
【分析】
根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
6. 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A. 抽签法 B. 系统抽样法 C. 分层抽样法 D. 随机数法
参考答案：
C
按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C
考点：本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.
7. 在中，，，，则解的情况（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
参考答案：
A
8. 下列命题中，正确的个数是
（1）, （2）存在一个四边形没有外接圆
（3）每个对数函数都是单调函数 （4）任意素数都是奇数
A.2 B.1 C. 4 D. 3
参考答案：
A
9. 若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件
①M、N都在函数y=f（x）的图象上；
②M、N关于原点对称．
则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
参考答案：
C
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log3x（x＞0）交点个数即可．
【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，
则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，
则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x（x≥0）
由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x≥0）的图象及函数f（x）=log3x（x＞0）的图象如下图所示
由图可得两个函数图象共有两个交点
即f（x）的“友好点对”有：2个．
故选：C．
10. 数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若 ，则等于（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是________________．
参考答案：
(0, )
12. 设分别为椭圆的焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 __________ .
参考答案：
(0. 1)或（0. -1）
13. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,……,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4，抽到的32人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A，编号落入区间[401,720]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为 ．
参考答案：
8
∵960÷32=30，
∴由题意可得抽到的号码构成以4为首项、以30为公差的等差数列，
由1≤30n﹣26≤720，n为正整数可得1≤n≤24，
∴做问卷C的人数为32﹣24=8，
故答案为：8．
14. 若向量的夹角为，，则 .
参考答案：
2
略
15. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为 平方里．
参考答案：
84
【考点】正弦定理．
【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．
【解答】解：由题意画出图象：
且AB=13里，BC=14里，AC=15里，
在△ABC中，由余弦定理得，
cosB===，
所以sinB==，
则该沙田的面积：即△ABC的面积S=AB?BC?sinB==84．
故答案为：84．
16. 已知O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），若OC⊥AB，则x=__________；若O、A、B、C四点共面，则x=__________．
参考答案：
16； 8
考点：平面的基本性质及推论．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）先求出，的坐标，根据?=0，得到3x﹣16﹣32=0，解出即可．（2）由于四点A，B，C，O共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．
解答：解：（1）∵=（x，﹣8，8），=（3，2，﹣4），
若OC⊥AB，则?=0，
∴3x﹣16﹣32=0，解得：x=16，；
（2）∵O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），
∴=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x，﹣8，8），
∵四点A，B，C，O共面，
∴存在实数λ，μ使得，=λ+μ，
∴（x，﹣8，8）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（1，4，﹣6），
∴，解得x=8，
故答案为：16； 8
点评：本题考查了向量垂直的性质，考查向量共面问题，是一道基础题．
17. 过点Ｐ（5，4）作与双曲线有且只有一个
公共点的直线共有 条 ．
参考答案：
3
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列前项和，求的值。
参考答案：
解：（1）∵∴
∴
（2）
∴ ∴或（舍）
略
19. （本小题满分12分） 已知函数的图像与的图象交于点，且在点处有公共切线。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）对任意，试比较与的大小.
参考答案：
（Ⅰ）依题意得 ① ……2分
又且与在点（1，0）处有公共切线，
② ……4分
由①②锝 ……6分
（Ⅱ）令则……7分
上为减函数 ……9分
……12分
20. 从原点O引圆的切线，切点为P，当m变化时，（1）求切点P的轨迹方程。（2）记P的轨迹为曲线C，判断直线与曲线C的位置关系，若相交，求出相交弦的长度。
参考答案：
解：（1）设切点P的坐标为（x，y），因为切线过原点，则 （） ，
的圆心M的坐标为（m，3），
则 由于圆M与直线相切，所以
①
可化为②
由①②可得P的轨迹方程为
（2）由（1）知，曲线C的圆心为C（0，0），半径，圆心到直线的距离
d=2
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