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辽宁省沈阳市第九十二高级中学2023年高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 对于函数,若在其定义域内存在两个实数,使得当时,
的值域是,则称函数为“函数”。给出下列四个函数
① ② ③ ④
其中所有“函数”的序号是( ▲ )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
参考答案:
D
略
2. 已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面,给出下列四个命题,正确命题的个数是
①若,,,则
②若,,则
③若,,,则
④若,,则//
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
C
由题意,已知互不重合的直线和互不重合的平面,
在A中,由于,
过直线平面都相交的平面,记,
则且,所以,
又,所以,故A是正确的;
在B中,若,则由面面垂直和线面垂直的性质得,所以是正确;
在C中,若,则由线面垂直的判定定理得,所以是正确;
在D中,若,则或,,所以是不正确的,故选C.
3. 已知角的终边与单位圆交于点,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
由三角函数的定义可得.
故选B.
4. 设集合A={a,b},集合B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于( )
A.{1,2} B.{1,5} C.{2,5} D.{1,2,5}
参考答案:
D
【考点】子集与交集、并集运算的转换.
【专题】计算题.
【分析】通过A∩B={2},求出a的值,然后求出b的值,再求A∪B.
【解答】解:由题意A∩B={2},所以a=1,b=2,集合A={1,2},A∪B={1,2}∪{2,5}={1,2,5}
故选D
【点评】本题是基础题,考查集合之间的子集、交集、并集的运算,高考常考题型.
5. 若一个三角形的平行投影仍是三角形,则下列命题:
①三角形的高线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的高线;
②三角形的中线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的中线;
③三角形的角平分线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的角平分线;
④三角形的中位线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的中位线.
其中正确的命题有( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
参考答案:
D
垂直线段的平行投影不一定垂直,故①错;线段的中点的平行投影仍是线段的中点,故②正确;三角形的角平分线的平行投影,不一定是角平分线,故③错;因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点,所以中位线的平行投影仍然是中位线,故④正确.选D.
6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )
A. 棱柱 B. 棱台 C.圆柱 D.圆台
参考答案:
D
略
7. 如右下图所示,△表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,在轴上,与轴垂直,且=3,则△的边AB上的高为 ( )
(A) (B) (C) (D)3
参考答案:
A
略
8. 在区间上随机取一个x,sinx的值介于与之间的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】CF:几何概型.
【分析】解出关于三角函数的不等式,使得sinx的值介于到之间,在所给的范围中,求出符合条件的角的范围,根据几何概型公式用角度之比求解概率.
【解答】解:∵<sinx,
当x∈[﹣,]时,
x∈(﹣,)
∴在区间上随机取一个数x,
sinx的值介于到之间的概率P==,
故选A.
9. 在边长为1的正方形ABCD中,等于( )
A. 1 B. C. D. 2
参考答案:
A
【分析】
利用向量內积的计算公式得到答案.
【详解】
答案为A
【点睛】本题考查了向量乘积公式,属于简单题.
10. 一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm),
则该几何体的表面积及体积为(cm2¥cm3):( )
A.24π,12π B.15π,12π
C.24π,36π D.以上都不正确
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若log23=m,用含m的式子表示log281,则log281= _________ .
参考答案:
4m
12. 已知幂函数图象过点(2,8),则其解析式是_______________.
参考答案:
略
13. 已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= .
参考答案:
5
【考点】等比数列的性质.
【分析】由数列{an}是等比数列,则有a1a2a3=5=5?a23=5;a7a8a9=10?a83=10.
【解答】解:由等比数列的性质知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,所以.
故答案为
14. 三个数,按从小到大的顺序排列为
参考答案:
略
15. 若正四棱谁的所有棱长都相等,则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为____.
参考答案:
45°
【分析】
先作出线面角,再利用三角函数求解即可.
【详解】如图,设正四棱锥的棱长为1,作在底面的射影,则为与底面所成角,为正方形的中心,
,,
,
故答案为:45°.
【点睛】本题考查线面角,考查学生的计算能力,作出线面角是关键.属于基础题.
16. 两等差数列、的前项和的比,则的值是 .
参考答案:
17. 如图,三棱柱ABC-ABC的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱AA⊥底面ABC,其正(主)视图是边长为2的正方形,则此三棱柱侧(左)视图的面积为_______。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)已知,
(I)若,且∥(),求x的值;
(II)若,求实数的取值范围.
参考答案:
(I),
∵∥(),
,
(II),
19. (本题满分12分)一投资商拟投资、两个项目,预计投资项目万元
可获得利润万元;投资项目万元可获得利
润万元。若这个投资商用60万元来投
资这两个项目,则分别投资多少钱能够获得最大利润?最大利润是多少?
参考答案:
解:设x万元投资于A项目,
而用剩下的(60-x)万元投资于B项目,则其总利润为
W=-(x-40)2+100+(-x2+x)--------------------------------6分
=- (x-30)2+990.--- ----------------------------------------------------------9分
当x=30时,Wmax=990(万元).---------------------------------------------11分
所以投资两个项目各30万元可获得最大利润,最大利润
为990万元------------------------------------------------------------------------ -12分
略
20. 设全集为R,若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,求:
(1) (2)A∩()
参考答案:
解:=
A∩()=[-1,0]
21. 已知直线经过点(2,1),且斜率为2,
(1)求直线的方程;
(2)若直线与直线平行,且在轴上的截距为3,求直线的方程.
参考答案:
(本小题满分15分)
(1)解:直线的方程为:
即
(2) 因为直线与直线平行,所以直线斜率为2.
又因为直线在轴上的截距为3
所以直线方程为:
略
22. 下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间与每天获得的利润(单位:万元)的有关数据.
星期
星期2
星期3
星期4
星期5
星期6
利润
2
3
5
6
9
(1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程;
(2)估计星期日获得的利润为多少万元.
参考公式:
参考答案:
见解析
【分析】
(1)根据表中所给数据,求出横标的平均数,把求得的数据代入线性回归方程的系数公式,利用最小二乘法得到结果,写出线性回归方程。(2)根据二问求得的线性回归方程,代入所给的的值,预报出销售价格的估计值,这个数字不是一个准确数值。
【详解】(1)由题意可得,
,
因此,,
所以,-
所以;
(2)由(1)可得,当时,(万元),
即星期日估计活动的利润为10.1万元。
【点睛】关键点通过参考公式求出,的值,通过线性回归方程求解的是一个估计值。
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