贵州省贵阳市开阳县第六中学2023年高一数学理模拟试卷含解析

贵州省贵阳市开阳县第六中学2023年高一数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 圆x2+y2﹣2y=3上的点到直线x﹣y﹣5=0的距离的最大值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆． 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径r，由点到直线的距离公式求得圆心A到直线x﹣y﹣5=0的距离d，则d+r的值即为所求． 【解答】解：圆x2+y2﹣2y=3 即 x2+（y﹣1）2=4，表示以A（0，1）为圆心、以r=2为半径的圆， 由于圆心A到直线x﹣y﹣5=0的距离d==3， 故圆x2+y2﹣2y=3上的点到直线x﹣y﹣5=0的距离的最大值是d+r=， 故选B． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 2. 已知几何体的三视图如右图所示，它的表面积是 A.           B.   C.              D. 参考答案： C 3. 如图，在三棱锥中，，且侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A．60π         B．56π       C.52π         D．48π 参考答案： A 4. 已知等差数列的前项和为，若      (     )   A.         B.         C.         D. 参考答案： A 5. 要得到的图象，只需将的图象 (   ) A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 参考答案： D 【分析】 先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求. 【详解】将图象向左平移个单位后，得到的图象，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x的系数对平移单位的影响. 6. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的m值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】执行程序框图如下： 输入， 则，， 则， 输出. 故选B   7. 已知则x的值是          （     ） A．-1               B．0            C．1               D．3 参考答案： B 8. 在△ABC中,,,则（　） A．       B．      C．      D．1 参考答案： B 9. 圆 的圆心到直线的距离为（   ） A.         B.2       C.3      D. 参考答案： A 圆 的圆心坐标为（1,2），所以圆心到直线的距离为。 10. 一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（　　） A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2 参考答案： B 【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积． 【分析】先根据正方体的顶点都在球面上，求出球的半径，然后求出球的表面积． 【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，体对角线为=2， 即为球的直径，所以半径为，表面积为4π2=12π． 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为　　． 参考答案： 3x+y﹣2=0 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【分析】由题意求出直线l的斜率，再求出直线3x﹣y+2=0所过的定点，由直线方程的斜截式得答案． 【解答】解：由题意可知，直线l的斜率与直线3x﹣y+2=0斜率互为相反数， ∵3x﹣y+2=0的斜率为3，∴直线l的斜率为﹣3， 又直线3x﹣y+2=0过点（0，2）， ∴直线l的方程为y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0． 故答案为：3x+y﹣2=0． 【点评】本题考查与直线关于直线对称的直线方程，考查了直线方程的斜截式，是基础题． 12. （5分）将13化成二进制数为     ． 参考答案： 1101 考点： 进位制． 专题： 计算题． 分析： 利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案． 解答： 13÷2=6…1 6÷2=3…0 3÷2=1…1 1÷2=0…1 故13（10）=1101（2） 故答案为：1101（2） 点评： 本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基本知识的考查． 13. 直线上有不同三点，是直线外一点，对于向量 是锐角总成立，则_________________； 参考答案： 略 14. 已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个语句：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中正确的是________．（只填序号） 参考答案： ②  ③ 15. 已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3, …，启发我们可以得出推广结论：≥n+1 (n∈N*)，则a=_________ ______． 参考答案： 16. 设f：x→ax﹣1为从集合A到B的映射，若f（2）=3，则f（3）=　　　　　　． 参考答案： 5 17. 从小到大的排列顺序是                           。 参考答案：      解析：， 而 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）． （1）求向量的长度的最大值； （2）设α=，且⊥（），求cosβ的值． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值． （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值． 【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则 ||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）． ∵﹣1≤cosβ≤1， ∴0≤||2≤4，即0≤||≤2． 当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2， 所以向量的长度的最大值为2． （2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ）， （）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα． ∵⊥（）， ∴（）=0，即cos（α﹣β）=cosα． 由α=，得cos（﹣β）=cos， 即β﹣=2kπ±（k∈Z）， ∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1． 【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式． 19. 在中，D为BC 边上的一点，且 ①求的大小； ②若,求AB的长. 参考答案： 略 20. 已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数． （Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论） （Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分 （i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数； （ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数； （Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用． 【分析】（I）①利用Ω对于即可判断出函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立． （II）（i）函数f（x）是Ω函数，可得存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），通过换元进而得出：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数． （ii）同（i）可以证明． （III）当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax，化为：TaT=1，即aT=，此方程有非0 的实数根，即可证明． 【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数． ②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx． ∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立． （II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）． 又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T）， 令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数． （ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）． 又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T）， 令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数． （III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x）， ∴Tax+T=ax，化为：TaTax=ax，∵ax＞0，∴TaT=1，即aT=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在， ∴当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数． 21. 已知是二次函数，若，且． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值与最小值，并求此时的值． 参考答案： (1) ； (2)当时，，当时，. 【分析】 （1）先设出函数f（x）的表达式，根据系数相等得到方程组，求出a，b的值即可；（2）用配方法求最值即可 【详解】（1）∵f（x）是二次函数，f（0）＝0， ∴设函数的表达式是f（x）＝ax2+bx， 则由f（x+1）＝f（x）+x+1， 得：a（x+1）2+b（x+1）＝ax2+bx+x+1， ∴ax2+（2a+b）x+a+b＝ax2+（b+1）x+1， ∴，解得：a＝b， ∴f（x）x2； （2）f（x）x2 ，对称轴为 当时，，当时，. 【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的值域，是一道基础题． 22. 已知=(sinx，cosx)，=(cosx，cosx)，f(x)=2·+2