湖南省长沙市第二十五中学高二数学理期末试卷含解析

湖南省长沙市第二十五中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的极大值与极小值的和为（   ）  （A）             （B）             （C）             （D） 参考答案： A 略 2. 已知等比数列中，，且，则 A．12                 B．10                C．8                   D． 参考答案： B 3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　） A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 参考答案： A 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案． 【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{an}，其中a1=103，d=13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5； 设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm =103m++97m+=2×1125， 解得：m=9． 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列在实际问题中的应用，属于基础题． 4. 方程的图象如图所示，那么函数的图象是（   ） 参考答案： C 略 5. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（   ） A.（） B.（） C.（） D. （） 参考答案： D 6. 设复数的共轭复数是，且，则在复平面内所对应的点位于（    ）． A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 7. （5分）设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x），则下列成立的是（　　） 　 A． e﹣2f（2）＜ef（﹣1）＜f（0） B． ef（﹣1）＜f（0）＜e﹣2f（2） C． ef（﹣1）＜e﹣2f（2）＜f（0） D． e﹣2f（2）＜f（0）＜ef（﹣1） 参考答案： D 因为f′（x）＜f（x），所以得f′（x）﹣f（x）＜0． 构造函数，则， 因为f′（x）﹣f（x）＜0，ex＞0， 所以F'（x）＜0，即函数在定义域上单调递减，所以， 即e﹣2f（2）＜f（0）＜ef（﹣1）． 故选D． 8. 如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为（　　） A． 海里/时 B．34海里/时 C．海里/时 D．34海里/时 参考答案： A 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案． 【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°． 在△PMN中，由正弦定理，得MN=68×=34． 又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时）， ∴船的航行速度v==（海里/时）； 故选A． 9. 以下有关命题的说法错误的是(    ) A．命题“若，则”的逆否命题为“若,则”   B．“”是“”的充分不必要条件              C．若为假命题，则、均为假命题                 D．对于命题，使得，则，则 参考答案： C 若为假命题，则只需至少有一个为假命题即可， 故选C； 10. 已知A、B、C、D、E、F分别代表完成某项工作的六道工序，其用时间分别为5分钟、10分钟、15分钟、20分钟、30分钟、5分钟，则设计的下列工序流程图中用时最少的是 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线的准线方程为，则焦点坐标是   ▲    . 参考答案： 略 12. 设集合是A={是(0，+∞)上的增函数}，，则=     . 参考答案： . 13. 设实数x，y，z均大于零，且，则的最小值是   . 参考答案： 略 14. 利用独立性检验来考虑两个分类变量和是否有关系时，如果的观测值，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为“和有关系”. 0.50 0.40 0.25 0.15 0．10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828   参考答案： 0.05 ，所以在犯错误的概率不超过 的前提下认为两个变量有关系。 15. 已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=　　． 参考答案： 3 【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质． 【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，，由此能得到b的值． 【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且． ∴|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，， ∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2， ∴36=4（a2﹣c2）=4b2， ∴b=3． 故答案为3． 16. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中，“……”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则     ▲     参考答案： 3 由已知代数式的求值方法： 先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负根)， 可得要求的式子。 令， 则两边平方得,则3+2， 即，解得，m=3，m=?1舍去。 故答案为3.   17. 已知m、l是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法： ①若l垂直于内两条相交直线，则  ②若 ③ 若  ④若且∥，则∥ ⑤若  其中正确的序号是 . 参考答案： ①③ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 （Ⅰ）若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围； （Ⅱ）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 19. 设。 （1）求的值；（2）归纳{}的通项公式，并用数学归纳法证明     参考答案： 解：（1）… 4   （2）根据计算结果，可以归纳出 ……….. 6分     证明：① 当n=1时, 与已知相符，归纳出的公式成立。……8           ② 假设当n=k()时，公式成立，即那么,          所以，当n=k+1时公式也成立。…………………11分          由①②知，时，有成立。………….12分   20. 设函数且. (1)    当时,求的展开式中二项式系数最大的项; (2)    对任意的实数,证明:是的导函数); （提示：） 是否存在,使得恒成立?若存在,试证明你的结论,并求出的 参考答案： (1) 展开式中二项式系数最大的项第4项,这项为（4分） (2) （8分）      =        所以对任意的实数恒成立.（10分） (3)先证（参见学案89号例3）（14分）  则 所以存在，使得恒成立.（16分） 略 21. (本小题满分12分)已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与原点的距离为． （1）求椭圆的方程． （2）已知定点，若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由． 参考答案： （1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0． 　　依题意　解得　∴　椭圆方程为　．………4分　　 （2）假若存在这样的k值，由得． 　∴　．　　　　　　　　　　　　　① 　设，、，，则　　　　　②   … 8分 而． 要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则， 即．………………10分 　∴　．　　　　　③ 　将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立． 　综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………………………12分 22. 某工科院校对A，B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：   专业A 专业B 总计 女生 12 4 16 男生 38 46 84 总计 50 50 100 (1)从B专业的女生中随机抽取2名女生参加某项活动，其中女生甲被选到的概率是多少？ (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢？ 注：. P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024   参考答案： 略