湖南省衡阳市祁东县白鹤铺中学高二数学理测试题含解析

湖南省衡阳市祁东县白鹤铺中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=cosx+ax是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 参考答案： C 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数f（x）的导函数，令导函数大于等于0或小于等于0在（﹣∞，+∞）上恒成立，分析可得a的范围． 【解答】解：∵f（x）=ax+cosx， ∴f′（x）=a﹣sinx， ∵f（x）=ax+cosx在（﹣∞，+∞）上是单调函数， ∴a﹣sinx≥0或a﹣sinx≤0在（﹣∞，+∞）上恒成立， ∴a≥1或a≤﹣1， 故选：C． 2. 若函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（   ） A．    B．  C．    D． 参考答案： B 略 3. 在数学归纳法的递推性证明中由假设时成立,推导时成立时 增加的项数是（   ）                        A.1         B.       C.         D. 参考答案： D 略 4. 已知α∥β，a?α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　） A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 参考答案： D 【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论． 【分析】由题意知B点与a确定唯一的一个平面γ，则γ与β相交且交线仅有一条，再由α∥β知a∥b． 【解答】解：B点与a确定唯一的一个平面γ与β相交， 设交线为b，由面面平行的性质定理知a∥b． 故选D． 【点评】本题考查了确定平面的依据和面面平行的性质定理，是基础题． 5. 在 △ABC中，，则△ABC一定是（    ） A 直角三角形    B  钝角三角形   C  等腰三角形     D  等边三角形 参考答案： D 略 6. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，,则线段中点到轴的距离为                                   （    ） A.16    B. 6       C.8 D. 4 参考答案： AD 略 7. 设，则= A. 2 B. C. D. 1 参考答案： C 【分析】 先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求． 【详解】因为，所以，所以，故选C． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 8. 在中，则一定是（     ）                      A.等腰三角形      B.等边三角形      C.锐角三角形       D.钝角三角形 参考答案： B 9. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（    ）   A．1275            B．2550     C．5050            D．2500   参考答案： B 10. 已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相较于两点，连接，若，则的离心率为（   ） A．      B．      C．      D．      参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=　　． 参考答案： 【考点】CM：条件概率与独立事件． 【分析】根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值． 【解答】解：根据题意，得 P（AB）===， ∵P（A）===， ∴P（B|A）== 故答案为： 【点评】本题给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题． 12. 记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间上的“中值点”为____　　． 参考答案： 略 13. 已知，则的值为          参考答案： 8 14. 设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=　    　． 参考答案： 【考点】F3：类比推理． 【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质． 【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点， 本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图： 由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=， 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 BO2=BE2+OE2， 把数据代入得到OE=a， ∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a， 故答案为： a． 15. 已知点（3，1）和（－4，6）在直线的两侧，则的取值范围 是             ． 参考答案： ； 16. 已知函数，，若存在，使得.则实数b的取值范围是          . 参考答案： (－2,0)   17. 若函数f（x）=（x2+mx）ex的单调减区间是，则实数m的值为　 　． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数f（x）的导数，得到﹣，1是方程x2+（m+2）x+m=0的根，根据韦达定理求出m的值即可． 【解答】解：∵函数f（x）=（x2+mx）ex，∴f′（x）=ex， 由题意得：﹣，1是方程x2+（m+2）x+m=0的根， ∴，解得：m=﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知命题p：（x﹣3）（x+2）＜0，命题q：＞0，若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数x的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，则命题p、q一真一假，即p真q假或p假q真，进而得到实数x的取值范围． 【解答】（本小题满分12分） 解：当命题p为真命题时：（x﹣3）（x+2）＜0，即﹣2＜x＜3；… 当命题q为真命题时：，即x＞5； … 又p∨q为真命题，p∧q为假命题， ∴命题p、q一真一假，即p真q假或p假q真； … 当p真q假时，则，∴﹣2＜x＜3，… 当p假q真时，则，∴x＞5，… ∴综上所述，实数x的取值范围为（﹣2，3）∪（5，+∞）． … 19. 已知△中，内角， ， 的对边分别为， ， ， ， ， ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 参考答案： （Ⅰ）在中， ，且，所以--------2分．        因为，且 ， ，    ------------4分 所以．    所以．                           -------------------6分 （Ⅱ）因为， 所以，       所以或（舍）．   ------------------8分 所以．------------10分 20. （12分）一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于（）2km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？ 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论． 【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时， 由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间， 因此，t=+≥2=10． 当且仅当=，即x=80时取“=”． 故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时． 【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21. (本小题满分14分) 已知函数， (Ⅰ)求的极小值； (Ⅱ)若函数上为单调增函数，求m的取值范围； (Ⅲ)设(e是自然对数的底数)上至少存在一个x0，使得f(x0)－g(x0)>h(x0)成立，求m的取值范围。 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意，，，∴当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，故．  …………4分 （Ⅱ） ，，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是．               …………8分 （Ⅲ）构造函数， 当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得．             …………………………………………10分 当时，，因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是．   …………………14分 另法:（Ⅲ）当时，． 当时，由，得 ， 令，则，所以在上递减，． 综上，要在上存在一个，使得，必须且只需． 22. 设f（x）=2|x|﹣|x+3|． （Ⅰ）求不等式f（x）≤7的解集S； （Ⅱ）若关于x不等式f（x）+|2t﹣3|≤0有解，求参数t的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）通过对x的取值范围分类讨论将绝对值符号去掉，作出其图象即可得到所求的解集S； （Ⅱ）f（x）+|2t﹣3|≤0有解?f（x）min+|2t﹣3|≤0有解，从而可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=， 如图，函数y=f（x）的图象与直线y=7相交于横坐标为x1=﹣4，x2=10的两点，由此得S= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的最小值为﹣3， 则关于x的不等式f（x）+|2t﹣3|≤0有解，必须且只需﹣3+|2t﹣3|≤0，解得0≤t≤3， ∴t的取值范围是． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号，作出函数图象是关键，考查分析转化与作图能力，属于中档题．