湖南省衡阳市洲市中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省衡阳市洲市中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知O是坐标原点，点A（—1，1）,若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（   ） A．         B．       C．         D． 参考答案： C 2. 已知函数在上可导，则“”是“为 函数的极值”的（   ） A. 充分不必要条件            B. 充要条件 C. 必要不充分条件            D. 既不充分也不必要条件 参考答案： C 由“”不可以推出“为函数的极值”，同时由“为函数的极值”可以推出“”，所以“”是“为函数的极值”的必要不充分条件．故答案选C． 3. 若复数z满足=2+3i，其中i是虚数单位，则=（　　） A． +i B． +i C． +i D．﹣i 参考答案： D 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由=2+3i， 得=， 则=． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（　　） A．10 B．﹣10 C．5 D．﹣5 参考答案： D 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，得出n＞20时终止循环，求出此时输出S的值． 【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下； n=1，S=0，n≤20，n不是偶数，S=； n=2，n≤20，n是偶数，S=﹣1=﹣； n=3，n≤20，n不是偶数，S=﹣+=1； n=4，n≤20，n是偶数，S=1﹣2=﹣1； n=5，n≤20，n不是偶数，S=﹣1+=； n=6，n≤20，n是偶数，S=﹣3=﹣； n=7，n≤20，n不是偶数，S=﹣+=2； n=8，n≤20，n是偶数，S=2﹣4=﹣2； …； n=19，n≤20，n不是偶数，S=+（10﹣1）×=5； n=20，n≤20，n是偶数，S=﹣+（10﹣1）×（﹣）=﹣5； n=21，n＞20，终止循环，输出S=﹣5． 故选：D． 5. 等比数列{an}中，，则“”是“”的 A.充分不必要条件    B.必要不充分条件    C.充要条件    D.既不充分也不必要条件 参考答案： B 6. 已知Sn是等差数列{an}(n?N*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题，假命题的是(   ) (A)公差d<0                      (B)在所有Sn<0中，S13最大       (C)满足Sn>0的n的个数有11个             (D)a6>a7 参考答案： C 7. 复数的共轭复数是（    ） A．2＋i                B．2－i C．－1＋i D．－1－i 参考答案： D 略 8. 在数列{an}中，a1=2，nan+1=（n+1）an+2（n∈N*），则a10为（　　） 　 A． 34 B． 36 C． 38 D． 40 参考答案： C 略 9. 已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】复数求模． 【分析】化简复数z，求出z的模即可． 【解答】解：z===﹣i， 故|z|==， 故选：B． 10. 已知集合M={0，2，zi}，i为虚数单位，N={1，3}，M∩N={1}，则复数z=（　　） A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i 参考答案： A 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】由M，N，以及两集合的交集，确定出复数z即可． 【解答】解：∵M={0，2，zi}，i为虚数单位，N={1，3}，M∩N={1}， ∴zi=1， 则z=﹣i． 故选：A． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，正视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积为　  　，表面积为　 　． 参考答案： ；2+2 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积． 【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图： 是正方体内的三棱锥，AD=DC=2，AB=BC=AC=2，BD=2， 几何体的体积是=， 表面积为： =2+2． 故答案为：；2+2 12. 已知A（1，0），B（0，1）在直线mx+y+m=0的两侧，则m的取值范围是　　． 参考答案： ﹣1＜m＜0 【考点】直线的斜率． 【分析】将点A（1，0），B（0，1）的坐标代入直线方程，使它们异号，建立不等关系，求出参数m即可． 【解答】解：将点A（1，0），B（0，1）的坐标代入直线方程， 可得两个代数式， ∵在直线mx+y+m=0的两侧， ∴（m+m）（1+m）＜0 解得﹣1＜m＜0， 故答案为﹣1＜m＜0 13. 已知函数．如下定义一列函数：，，，……，，……，，那么由归纳推理可得函数的解析式是                  ． 参考答案： 14. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为 参考答案： 【知识点】圆锥曲线的共同特征．H8    解析：因为抛物线的准线方程为， 则由题意知，点是双曲线的左焦点，所以， 又双曲线的一条渐近线方程是，所以，解得， 所以双曲线的方程为，故答案为。 【思路点拨】由抛物线标准方程易得其准线方程为，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为，此时由双曲线的性质可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程可得，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决。 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知C=60°，b=，c=3，则A=_________。   参考答案： 75° 由题意： ，即 ，结合 可得 ，则     16. 已知函数的反函数为      。 参考答案： 4 17. 在等差数列中,是其前项的和,且,,则数列的前项的和是__________? 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）[www.z%zstep.co*~&m^] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程； （Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值. 参考答案： （Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得 ， 易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以 . 化简得曲线的方程为. 解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.   （Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆 相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是 整理得         ① 设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故       ②   由得     ③ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以     ④ 同理可得      ⑤ 于是由②，④，⑤三式得 . 所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想. 19. 几何证明选讲. 如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆的割线，过点作 的垂线，交直线于点，交直线 于点，过点作圆的切线，切点为. （1）求证:四点共圆；（2）若,求的长. 参考答案： （1）证明：连结，∵是圆的直径， ∴ 在和中， 又∵ ∴ ∴四点共圆.   ……………………5分 （2）∵四点共圆，∴ ∵是圆的切线，∴ ∴ 又因为 ∴ ∴.   ………………………10分   略 20. 已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a． （Ⅰ）当a=3时，求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式有解，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】分类讨论；转化思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）当a=3时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）若不等式有解，则a大于或等于f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值，利用单调性求的f（x）的最小值，从而求得a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，关于x的不等式即|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3， 故有①，或②，或③． 解①求得﹣3≤x＜，解②求得≤x≤1，解③求得1＜x≤3． 综上可得，不等式的解集为[﹣3，3]． （Ⅱ）若不等式有解，则a大于或等于f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值． 由f（x）=，可得函数f（x）的最小值为f（）=﹣， 故a≥﹣． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，利用单调性求函数的最值，属于中档题． 21. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和． 参考答案： 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）由an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），当n≥2时，an=λSn﹣1+1，可得an+1=（1+λ）an，利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出． 解答： 解：（1）∵an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，an=λSn﹣1+1， ∴an+1﹣an=λan，即an+1=（1+λ）an， 又a1=1，a2=λa1+1=λ+1， ∴数列{an}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列， ∴a3=（λ+1）2， ∵a1、2a2、a3+3为等差数列{bn}的前三项． ∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3， 整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1． ∴an=2n﹣1，bn=1+3（n﹣1）=3n﹣2． （2）anbn=（3n﹣2）?2n﹣1， ∴数列{anbn}的前n项和Tn=1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）?2n﹣1， 2Tn=2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n， ∴﹣Tn=1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n=﹣（3n﹣2）×2n=（5﹣3n）×2n﹣5， ∴Tn=（3n﹣5）×2n+5． 点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法