湖南省衡阳市县岘山中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

湖南省衡阳市县岘山中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，则= (     ） 、           、             、            、 参考答案： B 2. （    ） （A） （B） （C）       （D） 参考答案： B 3. 在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28 参考答案： B 【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项． 【解答】解：依题意， +1=5， ∴n=8． 二项式为（）8，其展开式的通项 令解得k=6 故常数项为C86（）2（﹣）6=7． 故选B 4. 已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为(   )   A.   　 B.　  　 C.　   　D. 参考答案： D 略 5. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（     ） 参考答案： D. 试题分析：将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数解析式为，故选D. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质. 6. 已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1x2（x3﹣1）（x4﹣1）的取值范围是（　　） A．? B．（9，21） C．（21，25） D．（9，25） 参考答案： B 【考点】分段函数的应用． 【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，利用一元二次函数的性质进行求解即可． 【解答】解：当2≤x≤10，时，f（x）=sinx， 则函数的图象如图， 则0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜x4，且x3，x4，关于x=6对称， ∵f（x1）=f（x2）， ∴﹣log2x1=log2x2， ∴log2x1x2=0， ∴x1x2=1， ∵f（x3）=f（x4）， ∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10 ∴x1x2（x3﹣1）（x4﹣1）=（x3﹣1）（x4﹣1）=x3x4﹣（x3+x4）+1=x3x4﹣11， ∵2＜x3＜4，8＜x4＜10，x3+x4=12， ∴x3=﹣x4+12， 则x3x4=（12﹣x4）x4=﹣（x4）2+12x4=﹣（x4﹣6）2+36， ∵8＜x4＜10， ∴20＜x3x4＜32 则9＜x3x4﹣11＜21， 故选：B． 【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，难度较大． 7. 函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=(     ) A．10 B．8 C． D． 参考答案： B 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正切函数． 【专题】计算题． 【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正切，利用两角和的正切函数求出tan∠APB． 【解答】解：函数y=sin（πx+φ） ∴T=，最大值为1， 过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1， 在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=， 所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8． 故选B． 【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目． 8. 已知三个正数a,b,c满足，则的取值范围是(    ) A.        B.     C.    D. 参考答案： D 略 9. 已知复数，则z的虚部为(     ) A．1 　      B.－1 　     C. i          D. －i 参考答案： A 10. （5分）（2011?安徽）若直线 3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（　　） 　 A． ﹣1 B． 1 C． 3 D． ﹣3 参考答案： B 圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）， 代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0， ∴a=1， 故选 B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是　 　． 参考答案： 2 【考点】微积分基本定理． 【专题】计算题． 【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值； 【解答】解： =（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1， ∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2， 故答案为：2； 【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题． 12. 直线过点,若可行域的外接圆直径为.则实数的值是.   参考答案：   答案: 13. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_____． 参考答案： 试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为2×2π=4π，圆柱的体积为，则球的表面积为4π，故球的半径为1；球的体积为，∴这个圆柱的体积与这个球的体积之比为，故填 考点：本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式 点评：此类问题主要考查学生的计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手 14. 已知x5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，则a4=　　． 参考答案： ﹣5 【考点】二项式系数的性质． 【分析】将x5转化[（x+1）﹣1]5，利用二项式定理展开，使之与f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5进行比较可得所求． 【解答】解：x5=[（x+1）﹣1]5 =（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2 +（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5 而x5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5， 所以a4=×（﹣1）=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是利用x5=[（x+1）﹣1]5展开，是基础题目． 15. 某同学在求方程的近似解（精确到0.1）时，设，发现,，他用“二分法”又取了4个值，通过计算得到方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为____▲___. 参考答案： 1.75 16. 某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________． 参考答案： 2500万元 17. 已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则           ． 参考答案：      三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，点F是椭圆的左焦点，定点P的坐标为（-8,0）.线段为椭圆的长轴，已知，且该椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B.证明：直线FA与FB的斜率之和为0； （3）记的面积为，求的最大值. 参考答案： 【知识点】椭圆及其几何性质H5 【答案解析】（1）（2）略（3） 解法一： （1） 又离心率， 所求椭圆的标准方程为： （2）设直线FA、FB、斜率分别为、、 当AB的斜率为0时，显然有命题成立， 当AB的斜率不为0时，可设AB的方程为 代入椭圆方程整理得： 判别式         而 （3） 当且仅当，即（此时判别式）时取等号， 的面积的最大值为. 解法二： （1） 又离心率， 所求椭圆的标准方程为： （2）设直线FA、FB、AB的斜率分别为、、 当时，显然有命题成立， 当时，可设AB的方程为 代入椭圆方程整理得： 判别式 ， 而 （3） 当且仅当，即（此时判别式）时取等号， 的面积的最大值为. 【思路点拨】利用椭圆中a b c 的关系求出方程，直线和椭圆方程联立求出最大值。 19. （本小题满分12分） 在中，角所对应的边分别为，为锐角且， . （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，求的值. 参考答案： 解：（Ⅰ）∵为锐角， ∴        --------------2分 ∵，，∴                        --------------3分 ∵，∴ ∴,                       --------------4分 ∴                                               --------------6分 （Ⅱ）由正弦定理                   --------------8分 ∴，解得                --------------10分 ∴                                    --------------12分   略 20. （本小题满分12分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 参考答案： （1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为： ，                      当且仅当，即时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．      （2）设该单位每月获利为, 则                                   ， 因为，所以当时，有最大值． 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损． 21. 已知函数． （1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)在处的切线平行于x轴，是否存在整数k，使不等式在时恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）a；（2）不存在，理由见解析. 【分析】 （1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出的取值范围； （2）问题转化为即在时恒成立，令，求导后分和求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案． 【详解